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(2013•綿陽)我們知道,三角形的三條中線一定會交于一點,這一點就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性質,如關于線段比.面積比就有一些“漂亮”結論,利用這些性質可以解決三角形中的若干問題.請你利用重心的概念完成如下問題:
(1)若O是△ABC的重心(如圖1),連結AO并延長交BC于D,證明:
AO
AD
=
2
3
;
(2)若AD是△ABC的一條中線(如圖2),O是AD上一點,且滿足
AO
AD
=
2
3
,試判斷O是△ABC的重心嗎?如果是,請證明;如果不是,請說明理由;
(3)若O是△ABC的重心,過O的一條直線分別與AB、AC相交于G、H(均不與△ABC的頂點重合)(如圖3),S四邊形BCHG,S△AGH分別表示四邊形BCHG和△AGH的面積,試探究
S四邊形BCHG
S△AGH
的最大值.
分析:(1)如答圖1,作出中位線DE,證明△AOC∽△DOE,可以證明結論;
(2)如答圖2,作△ABC的中線CE,與AD交于點Q,則點Q為△ABC的重心.由(1)可知,
AQ
AD
=
2
3
,而已知
AO
AD
=
2
3
,故點O與點Q重合,即點O為△ABC的重心;
(3)如答圖3,利用圖形的面積關系,以及相似線段間的比例關系,求出
S四邊形BCHG
S△AGH
的表達式,這是一個二次函數,利用二次函數的性質求出其最大值.
解答:(1)證明:如答圖1所示,連接CO并延長,交AB于點E.

∵點O是△ABC的重心,∴CE是中線,點E是AB的中點.
∴DE是中位線,
∴DE∥AC,且DE=
1
2
AC.
∵DE∥AC,
∴△AOC∽△DOE,
AO
OD
=
AC
DE
=2,
∵AD=AO+OD,
AO
AD
=
2
3


(2)答:點O是△ABC的重心.
證明:如答圖2,作△ABC的中線CE,與AD交于點Q,則點Q為△ABC的重心.

由(1)可知,
AQ
AD
=
2
3
,
AO
AD
=
2
3

∴點Q與點O重合(是同一個點),
∴點O是△ABC的重心.

(3)解:如答圖3所示,連接DG.

設S△GOD=S,由(1)知
AO
AD
=
2
3
,即OA=2OD,
∴S△AOG=2S,S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S.
為簡便起見,不妨設AG=1,BG=x,則S△BGD=3xS.
∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=(3x+3)S,
∴S△ABC=2S△ABD=(6x+6)S.
設OH=k•OG,由S△AGO=2S,得S△AOH=2kS,
∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=(2k+2)S.
∴S四邊形BCHG=S△ABC-S△AGH=(6x+6)S-(2k+2)S=(6x-2k+4)S.
S四邊形BCHG
S△AGH
=
(6x-2k+4)S
(2k+2)S
=
3x-k+2
k+1
  ①
如答圖3,過點O作OF∥BC交AC于點F,過點G作GE∥BC交AC于點E,則OF∥GE.
∵OF∥BC,
OF
CD
=
AO
AD
=
2
3

∴OF=
2
3
CD=
1
3
BC;
∵GE∥BC,
GE
BC
=
AG
AB
=
1
x+1
,
∴GE=
BC
x+1
;
OF
GE
=
1
3
BC
BC
x+1
=
x+1
3
,
OF
GE-OF
=
x+1
3-(x+1)
=
x+1
2-x

∵OF∥GE,
OH
GH
=
OF
GE
,
OH
OG
=
OF
GE-OF
=
x+1
2-x
,
∴k=
x+1
2-x
,代入①式得:
S四邊形BCHG
S△AGH
=
3x-k+2
k+1
=
3x-
x+1
2-x
+2
x+1
2-x
+1
=-x2+x+1=-(x-
1
2
2+
5
4
,
∴當x=
1
2
時,
S四邊形BCHG
S△AGH
有最大值,最大值為
5
4
點評:本題是幾何綜合題,以三角形的重心為背景,考查了重心的概念、性質以及應用,考查了相似三角形、中位線、圖形面積、二次函數最值等知識點.試題的難點在于第(3)問,如何求出
S四邊形BCHG
S△AGH
的關系式是解題的關鍵;另外,第(3)問尚有多種不同的解法,同學們可以深入探究.
練習冊系列答案
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