Question

如圖1，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，把△ABC繞點A旋轉到△ADE的位置，DE交BC于點M，連接AM．

（1）求證：∠AMB=∠AME；
（2）如圖2，AD交BC于H，在邊AE上取一點G，使DH=EG，連接GC，求點A到直線CG的距離．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰三角形的性質,旋轉的性質

專題：常規(guī)題型

分析：（1）過點A作AF⊥BC，垂足為F，過點A作AN⊥DE，垂足為N．由題意：△ABC≌△ADE，∴AF=AN，然后由“HL”定理證明Rt△AFM≌Rt△ANM即可．
（2）過點A作AP⊥CG，垂足為P，由△ABC≌△ADE，AB=AC，得到AD=AE，∠BAC=∠DAE，又因為DH=EG，∠DAC=∠DAC，所以AH=AG，∠BAH=∠CAG，進而得到△ABH≌△ACG（SAS），∴AF=AP，然后由勾股定理求出AF即可．

解答：（1）證明：過點A作AF⊥BC，垂足為F，過點A作AN⊥DE，垂足為N．
由題意：把△ABC繞點A旋轉到△ADE的位置，
∴AF=AN，
∵AF⊥BC，AN⊥DE，
∴∠AFM=∠ANM=90°，
在Rt△AFM和Rt△ANM中，

AM=AM(公共邊) AF=AN(已證)

，
∴Rt△AFM≌Rt△ANM（HL）．
∴∠AMB=∠AME（全等三角形的對應角相等）．
（2）過點A作AP⊥CG，垂足為P，
∵△ABC≌△ADE，AB=AC，
∴AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∵DH=EG，∠DAC=∠DAC，
∴AD-DH=AE-GE，∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即：AH=AG，∠BAH=∠CAG，
在△ABH和△ACG中，

AH=AG ∠BAH=∠CAG AB=AC

，
∴△ABH≌△ACG（SAS）
∴AF=AP，
在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，
∵AF⊥BC，
∴BF=FC=

1

2

BC=5，
在Rt△ABF中，
由勾股定理得：AF²=AB²-BF²=13²-5²=144，
∴AF=12，
∴AP=AF=12，
即點A到直線CG的距離為12．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，重點應用全等三角形的對應高相等，解決問題．