Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A、B的坐標(biāo)分別是（0，4）、（4，0）．
（1）若P為AB的中點(diǎn)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若P為線段AB上異于A、B的任意一點(diǎn)，CP⊥OP，下列結(jié)論：
①CP+OP為定值；
②CP：OP為定值．
其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)你判斷出正確的結(jié)論，并證明正確的結(jié)論，以及求出它的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）由P為AB中點(diǎn)，根據(jù)A與B的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出P的坐標(biāo)即可；
（2）正確結(jié)論為：②CP：OP為定值，這個(gè)定值為1，理由為：作PK⊥OB，垂足為K；PN⊥OA，垂足為N，NP的延長線交直線l于M，易證：四邊形MNOB，MPKB，PNOK都是矩形，利用兩對(duì)角相等的三角形相似，得到三角形NPO與三角形CMP相似，由相似得比例列出關(guān)系式，根據(jù)三角形AOB為等腰直角三角形得到三角形PKB為等腰直角三角形，得到PK=KB，代入比例式變形即可得到結(jié)果．

解答：解：（1）若P為AB的中點(diǎn)，則有P（2，2）；
（2）正確結(jié)論為：②CP：OP為定值，這個(gè)定值為1，理由如下：
作PK⊥OB，垂足為K；PN⊥OA，垂足為N，NP的延長線交直線l于M，
易證：四邊形MNOB，MPKB，PNOK都是矩形，
∵OP⊥PC，
∴∠OPC=90°，
∴∠NPO+∠MPC=90°，
∵∠NPO+∠NOP=90°，
∴∠NOP=∠MPC，
∵∠ONP=∠PMC=90°，
∴△NPO∽△CMP，
∴CP：PO=PM：ON，
∵PK=ON，PM=KB，OA=OB，
∴△AOB為等腰直角三角形，即∠OBA=45°，
∵∠PKB=90°，
∴△PKB為等腰直角三角形，即∠KPB=45°=∠KBP，
∴PK=KB，
∴CP：PO=PK：KB=1，
∴CP：PO=1．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，以及矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．