【題目】已知:如圖,在矩形ABCD中,M,N分別是邊AD,BC的中點,E,F(xiàn)分別是線段BM,CM的中點.
(1)求證:△ABM≌△DCM;
(2)判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形,并證明你的結(jié)論;
(3)當AD:AB=時,四邊形MENF是正方形(只寫結(jié)論,不需證明).

【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,

∴AB=CD,∠A=∠D=90°,

又∵M是AD的中點,

∴AM=DM.

在△ABM和△DCM中,

,

∴△ABM≌△DCM(SAS)


(2)解:四邊形MENF是菱形.

證明如下:

∵E,F(xiàn),N分別是BM,CM,CB的中點,

∴NE∥MF,NE=MF.

∴四邊形MENF是平行四邊形.

由(1),得BM=CM,∴ME=MF.

∴四邊形MENF是菱形


(3)2:1
【解析】(3)解: 當AD:AB=2:1時,四邊形MENF是正方形.理由:
∵M為AD中點,
∴AD=2AM.
∵AD:AB=2:1,
∴AM=AB.
∵∠A=90,
∴∠ABM=∠AMB=45°.
同理∠DMC=45°,
∴∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°.
∵四邊形MENF是菱形,
∴菱形MENF是正方形.
故答案為:2:1.
(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB=CD,∠A=∠D=90°,再根據(jù)M是AD的中點,可得AM=DM,然后再利用SAS證明△ABM≌△DCM;(2)四邊形MENF是菱形.首先根據(jù)中位線的性質(zhì)可證明NE∥MF,NE=MF,可得四邊形MENF是平行四邊形,再根據(jù)△ABM≌△DCM可得BM=CM進而得ME=MF,從而得到四邊形MENF是菱形;(3)當AD:AB=2:1時,四邊形MENF是正方形,證明∠EMF=90°根據(jù)有一個角為直角的菱形是正方形得到結(jié)論.

練習冊系列答案
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