Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，試判斷AB+CD與AD+BC的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：梯形,三角形三邊關(guān)系,三角形中位線定理

專題：證明題

分析：作梯形ABCD的中位線EF，連接OE、OF，根據(jù)梯形中位線定理得出EF=

1

2

（AD+BC），根據(jù)直角三角形斜邊上中線定理得出OE=

1

2

AB，OF=

1

2

CD，在△OEF中根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出OE+OF＞EF，代入即可求出AB+CD＞AD+BC．

解答：解：作梯形ABCD的中位線EF，連接OE、OF，
即EF=

1

2

（AD+BC），
∵AC⊥BD，
∵∠AOB=∠DOC=90°，
∵E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為DC中點(diǎn)，
∴OE=

1

2

AB，OF=

1

2

CD，
∵在△OEF中，OE+OF＞EF，
∴

1

2

AB+

1

2

CD＞

1

2

（AD+BC），
∴AB+CD＞AD+BC，
∴AD+BC＜AB+CD．

點(diǎn)評：此題的難點(diǎn)在于將所求的線段轉(zhuǎn)換到同一個(gè)三角形中，而正確地作出輔助線是順利解題的前提；題目綜合了梯形的中位線，三角形的三邊關(guān)系定理，直角三角形斜邊上中線定理等重要知識(shí)點(diǎn)，難度較大．