Question

如圖1，矩形BCD的邊OD，OB分別在x軸和y軸上，且B（0，8），D（10，0）．點(diǎn)E是DC邊上一點(diǎn)，將矩形OBCD沿過(guò)點(diǎn)O的射線OE折疊，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)A處．
（1）直接寫(xiě)出A，E的坐標(biāo)；
（2）若拋物線y=ax²+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，D，求此拋物線的解析式；
（3）若點(diǎn)M是（2）是的拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在M，N使以A，M，N，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（4）如圖2，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿折線D-C-A以同樣的速度運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作直線l⊥x軸，依次交射線OA，OE于點(diǎn)F，G，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），△QFG的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出t的取值范圍．（t的取值應(yīng)保證△QFG的存在）

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：壓軸題,分類(lèi)討論,方程思想

分析：（1）由矩形的性質(zhì)及軸對(duì)稱的性質(zhì)即可求出AB，就可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；設(shè)AE=DE=x，在Rt△ACE中，運(yùn)用勾股定理即可求出x，從而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（2）用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式．
（3）易求得拋物線的對(duì)稱軸x=5，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AH，垂足為N，運(yùn)用勾股定理用n的代數(shù)式表示出AM²、EM²，然后分別以AM與AE，EM與EA，ME與MA為菱形的一組鄰邊進(jìn)行討論，列出等式，求出n，就可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（4）根據(jù)點(diǎn)Q的位置不同，分以下四種情況進(jìn)行討論：①點(diǎn)Q在線段DC上、②點(diǎn)Q在AC上且在直線l的右邊、③點(diǎn)Q在AC上且在直線l上、④點(diǎn)Q在AC上且在直線l的左邊，就可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）如圖1，
∵四邊形OBCD是矩形，B（0，8），D（10，0），
∴BC=OD=10，DC=OB=8，∠OBC=∠C=90°．
由折疊可得：OA=OD=10，AE=DE．
∵∠OBC=90°，OB=8，OA=10，
∴AB=6．
∴AC=4．
設(shè)AE=DE=x，則CE=8-x．
∵∠C=90°，
∴x²=4²+（8-x）²．
解得：x=5．
∴AE=DE=5．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，8），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（10，5）．

（2）∵拋物線y=ax²+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，8），D（10，0），
∴

36a+6b=8 100a+10b=0

，
解得：

a=- 1 3 b= 10 3

．
∴此拋物線的解析式為y=-

1

3

x²+

10

3

x．

（3）存在M、N，使以A、M、N、E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．
設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與BC交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AH，垂足為N，連接AM、ME，如圖1，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則m=-

10 3

2×(- 1 3 )

=5．
∴AH=6-5=1，HM=

.

8-n

.

，EN=10-5=5，NM=

.

5-n

.

．
∵AH⊥HM，
∴AM²=AH²+MH²=1+（8-n）²．
∵EN⊥MN，
∴ME²=EN²+MN²=25+（5-n）²．
①若AM與AE是菱形的一組鄰邊，則AM=AE．
∴AM²=AE²．
∴1+（8-n）²=25．
∴（8-n）²=24．
解得：n₁=8-2

6

，n₂=8+2

6

．
②若EM與EA是菱形的一組鄰邊，則EM=EA．
∴EM²=EA²．
∴25+（5-n）²=25．
∴（5-n）²=0．
∴n₃=5．
③若MA與ME是菱形的一組鄰邊，則MA=ME．
∴MA²=ME²．
∴1+（8-n）²=25+（5-n）²．
解得：n₄=2.5．
綜上所述：滿足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（5，8-2

6

），（5，8+2

6

），（5，5），（5，2.5）．

（4）設(shè)直線OA的解析式y(tǒng)=k₁x，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，8），
∴6k₁x=8．
∴k₁=

4

3

x．
∴直線OA的解析式y(tǒng)=

4

3

x．
同理可得：直線OE的表達(dá)式為y=

1

2

x．
∵OP=1×t=t，
∴P（t，0）．
∵直線l⊥x軸于點(diǎn)P，點(diǎn)F、G是直線l與OA，OE的交點(diǎn)，
∴F（t，

4

3

t），G（t，

1

2

t）．
故FG=

4

3

t-

1

2

t=

5

6

t．
①當(dāng)0＜t≤8時(shí)，點(diǎn)Q在線段DC上，
過(guò)點(diǎn)Q作QS⊥直線l，垂足為S，如圖2，
則QS=PD=10-t．
∴S=

1

2

FG•QS=

1

2

FG•PD
=

1

2

×

5

6

t（10-t）
=-

5

12

t²+

25

6

t．
②當(dāng)8≤t＜9時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上，且在直線l的右側(cè)，
設(shè)FG交AC于點(diǎn)N，如圖3，
則QN=CN-CQ=PD-CQ=（10-t）-（t-8）=18-2t．
∴S=

1

2

FG•QN
=

1

2

×

5

6

t（18-2t）
=-

5

6

t²+

15

2

t．
③當(dāng)t=9時(shí)，QN=18-2t=0，點(diǎn)Q與點(diǎn)N重合，此時(shí)△QFG不存在，故舍去．
④當(dāng)9＜t≤10時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上，且在直線l的左側(cè)，
設(shè)FG交AC于點(diǎn)N，如圖4．
則QN=CQ-CN=CQ-PD=（t-8）-（10-t）=2t-18．
∴S=

1

2

FG•QN
=

1

2

×

5

6

t（2t-18）
=

5

6

t²-

15

2

t．
綜上所述：S=

- 5 12 t2+ 25 6 t(0＜t＜8) - 5 6 t2+ 15 2 t(8≤t＜9) 5 6 t2- 15 2 t(9＜t≤10)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、軸對(duì)稱的性質(zhì)、解一元二次方程、解一元一次方程、勾股定理等知識(shí)，有一定的綜合性；本題還重點(diǎn)考查了方程思想和分類(lèi)討論思想，有一定的難度．