Question

已知如圖1，Rt△ABC和Rt△ADE的直角邊AC和AE重疊在一起，AD=AE，∠B=30°，∠DAE=∠ACB=90°.

（1）如圖1，填空：∠BAD= ；= ；

（2）如圖2，將△ADE繞點A順時針旋轉，使AE到AB邊上，∠ACH=∠BCH，連接BH，求∠CBH的度數；

（3）如圖3，點P是BE上一點，過A、E兩點分別作AN⊥PC、EM⊥PC，垂足分別為N、M，若EM=2，AN=5，求△AND的面積．

Answer 1

（1）150°，（2）15°；（3）．

【解析】

試題分析：（1）如圖1，由三角形內角和定理求得∠BAC=60°，則∠BAD=∠BAC+90°=150°；把BC、CD的長度均以AC表示，通過約分可以求得的值；

（2）如圖2，連接CE、AH．先證等邊△ACE得AE=AC，∠AEC=∠ACE=60°．而∠AEH=∠ACH=45°，易推知∠HEC=∠HCE=15°，所以HE=HC．再證△AEH≌△ACH（SAS），由AH平分∠BAC、CH平分∠ACB，得到BH平分∠ABC，則∠CBH=15°；

（3）如圖3，過點E作EF⊥AN于點F，過點D作DG⊥AN于點G，可得矩形MEFN．可證△AEF≌△DAG．則DG=AF=AN-EM=5-2=3．所以S△AND=AN•DG=×5×3=．

試題解析：（1）如圖1，．（2）

∵∠ACB=90°，∠B=30°，

∴∠BAC=60°．

又∵∠DAE=90°，

∴∠BAD=∠BAC+90°=150°；

在Rt△ABC中，BC=AC•tan60°=AC．

在Rt△ADE中，AD=AC，則CD=AC，

∴．

（2）如圖2，連接CE、AH．

∵AC=AE，∠CAE=60°，

∴△ACE是等邊三角形，

∴AE=AC，∠AEC=∠ACE=60°．

由∵∠AEH=∠ACH=45°，

∴∠HEC=∠HCE=15°，

∴HE=HC．

在△AEH與△ACH中，

，

∴△AEH≌△ACH（SAS），

∴∠EAH=∠CAH，即AH平分∠BAC．

又∵∠ACH=∠BCH，即CH平分∠ACB，

∴BH平分∠ABC，則∠CBH=15°；

（3）如圖3，過點E作EF⊥AN于點F，過點D作DG⊥AN于點G．

∵AN⊥PC、EM⊥PC，

∴四邊形MEFN是矩形．可證△AEF≌△DAG．

∴DG=AF=AN-EM=5-2=3．

∴S△AND=AN•DG=×5×3=．

考點：幾何變換綜合題．