Question

如圖，直角梯形OABC中，AB∥OC，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，2

3

），∠BCO=60°，OH⊥BC于點(diǎn)H．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)H出發(fā)，沿線段HO向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段OA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）比OH、0A的大��；
（2）若△OPQ的面積為S（平方單位）．求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）設(shè)PQ與OB交于點(diǎn)M．當(dāng)△OPM為等腰三角形時(shí)，求（2）中S的值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題,等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：壓軸題,分類討論

分析：（1）根據(jù)題意得出△BOC為等邊三角形，進(jìn)而得出OH的長(zhǎng)； 
（2）首先表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用S=

1

2

OQ•x_p求出即可；
（3）利用（i）若OM=PM，（ii）若OP=OM，（iii）若OP=PM，分別分析得出即可．

解答：解：（1）∵AB∥CO，
∴∠OAB=∠AOC=90°，
在Rt△OAB中，AB=2，AO=2

3

，
∴OB=4，∠ABO=60°，
∴∠BOC=60°而∠BCO=60°，
∴△BOC為等邊三角形，
∴OH=OB•cos30°=4×

3

2

=2

3

，
故OH=AO=2

3

；

（2）∵OP=OH-PH=2

3

-t，
∴x_p=OP•cos30°=3-

3

2

t，y_p=OP•sin30°=

3

-

t

2

，
∴S=

1

2

OQ•x_p
=

1

2

t（3-

3

2

t）
=-

3

4

t²+

3

2

t  （0＜t＜2

3

），

（3）若△OPM為等腰三角形，則：
（i）如圖1，若OM=PM，∠MPO=∠MOP=∠POC，
∴PQ∥OC，
∴OQ=y_p
即t=

3

-

t

2

，
解得：t=

2 3

3

，
此時(shí)S=-

3

4

×（

2 3

3

）²+

3

2

×

2 3

3

=

2 3

3

；
（ii）如圖2，若OP=OM，∠OPM=∠OMP=75°，
∴∠OQP=45°，
過點(diǎn)P作PE⊥OA，垂足為E，則有：EQ=EP，
即t-（

3

-

1

2

t）=3-

3

2

t，
解得：t=2，
此時(shí)S=-

3

4

×2²+

3

2

×2=3-

3

；
（iii）若OP=PM，∠POM=∠PMO=∠AOB，
∴PQ∥OA，
此時(shí)Q在AB上，不滿足題意．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了四邊形綜合以及銳角三角函數(shù)關(guān)系和等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．