Question

如圖，把一塊等腰直角三角板ABC放在平面直角坐標系的第二象限內，若∠A=90°，AB=AC，且A、B兩點的坐標分別為（-4，0）、（0，2）．
（1）求點C的坐標；
（2）將△ABC沿x軸的正方向平移m個單位長度至第一象限內的△DEF位置，若B、C兩點的對應點E、F都在反比例函數y=

k

x

的圖象上，求m、k的值和直線EF的解析式；
（3）在（2）的條件下，直線EF交y軸于點G，問是否存在x軸上的點M和反比例函數圖象上的點P，使得四邊形PGMF是平行四邊形？若存在，求出點M和點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：

分析：（1）作CH⊥x軸于H，如圖，利用“AAS”證明△ABO≌△CAH，得到AH=OB=2，CH=OA=4，則OH=OA+AH=6，然后根據第二象限的坐標特征寫出C點坐標；
（2）根據平移的性質得D（-4+m），E（m，2），F(xiàn)（-6+m，4），再根據反比例函數圖象上點的坐標特征得到2•m=4（-6+m），解得m=12，則E點坐標為（12，2），F(xiàn)點的坐標為（6，4），所以k=24，然后利用待定系數法確定直線EF的解析式；
（3）先確定G點坐標為（0，6），再根據平行四邊形的性質得G點為GF為中點，根據線段的中點坐標公式得到G點坐標為（3，5），設P點坐標為（x，0），利用G點為MP為中點得到M點坐標為（6-x，10），然后根據反比例函數圖象上點的坐標特征得到10（6-x）=24，解得x=

18

5

，所以P點坐標為（

18

5

，0）．

解答：解：（1）作CH⊥x軸于H，如圖，
∵A、B兩點的坐標分別為（-4，0）、（0，2）．
∴OA=4，OB=2，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAH=90°，
而∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CAH=∠ABO，
在△ABO和△CAH中

∠AHC=∠BOA ∠CAH=∠ABO CA=AB

，
∴△ABO≌△CAH（AAS），
∴AH=OB=2，CH=OA=4，
∴OH=OA+AH=6，
∴C點坐標為（-6，4）；
（2）∵△ABC沿x軸的正方向平移m個單位長度至第一象限內的△DEF位置，
∴D（-4+m），E（m，2），F(xiàn)（-6+m，4），
∵點E、F都在反比例函數y=

k

x

的圖象上，
∴2•m=4（-6+m），解得m=12，
∴E點坐標為（12，2），F(xiàn)點的坐標為（6，4），
∴k=12×2=24，
∴反比例函數的解析式為y=

24

x

，
設直線EF的解析式為y=px+q，
把E（12，2），F(xiàn)（6，4）代入得

12p+q=2 6p+q=4

，
解得

p=- 1 3 q=6

，
∴直線EF的解析式為y=-

1

3

x+6；
（3）如圖，
∵當x=0時，y=-

1

3

x+6=6，
∴G點坐標為（0，6），
∵四邊形PGMF為平行四邊形，
∴G點為GF為中點，
∴G點坐標為（3，5），
設P點坐標為（x，0），
∵G點為MP為中點，
∴M點坐標為（6-x，10），
∵M（6-x，10）在反比例函數y=

24

x

圖象上，
∴10（6-x）=24，解得x=

18

5

，
∴P點坐標為（

18

5

，0）．

點評：本題考查了反比例函數的綜合題：熟練掌握反比例函數圖象上點的坐標特征、全等三角形的判定與性質、平移的性質和平行四邊形的判定與性質；會利用待定系數法求函數解析式，；理解坐標與圖形性質．