Question

如圖，拋物線y=-

1

3

x2+2x與x軸相交于點(diǎn)B、O，點(diǎn)A是拋物線的頂點(diǎn)，連接AB，把AB所在的直線平移，使它經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，得到直線l．點(diǎn)P是l上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q拋物線是上的一點(diǎn)．設(shè)以點(diǎn)A、B、O、P為頂點(diǎn)的四邊形面積為S，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．
①當(dāng)0＜S≤18時(shí)，t的取值范圍是

 

；
②在①的條件下，當(dāng)t取得最大值時(shí)，請(qǐng)你寫出使△OPQ為直角三角形且OP為直角邊的Q點(diǎn)的坐標(biāo)：

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：①根據(jù)A、B的坐標(biāo)，易求得直線AB的解析式，進(jìn)而可確定直線l的解析式，即可表示出P點(diǎn)的坐標(biāo)；由于P點(diǎn)的位置不確定，因此本題要分成兩種情況考慮：
（i）P點(diǎn)位于第四象限，此時(shí)t＞0，四邊形AOPB的面積可由△OAB和△OBP的面積和求得，由此可得到關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)S的取值范圍即可判斷出t的取值范圍；
（ii）P點(diǎn)位于第二象限，此時(shí)t＜0，可分別過(guò)A、P作x軸的垂線，設(shè)垂足為N、M；那么四邊形AOPB的面積即可由梯形APMN與△ABN的面積和再減去△OPM的面積求得，由此可得到關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式，可參照①的方法求出t的取值范圍；
結(jié)合上面兩種情況即可得到符合條件的t的取值范圍；
②根據(jù)①的結(jié)論，可求出t的最大值，由此可得到P點(diǎn)的坐標(biāo)；若△OPQ為直角三角形且OP為直角邊，那么有兩種情況需要考慮：∠QOP=90°和∠OPQ=90°；可分別過(guò)Q、O作直線l的垂線m、n，由于互相垂直的兩直線斜率的乘積為-1，根據(jù)直線l的解析式以及Q、O的坐標(biāo)，即可求出直線m、n的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：①∵拋物線y=-

1

3

x2+2x與x軸相交于點(diǎn)B、O，點(diǎn)A是拋物線的頂點(diǎn)，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0）．
∴頂點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，3）．
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b．
∵A（3，3），B（6，0），
∴

6k+b=0 3k+b=3

，
解得

k=-1 b=6

，
∴y=-x+6．
∵直線l∥AB且過(guò)點(diǎn)O，
∴直線l解析式為y=-x．
∵點(diǎn)P是l上一動(dòng)點(diǎn)且橫坐標(biāo)為t，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（t，-t）．
當(dāng)P在第四象限時(shí)（t＞0），
S=S_△AOB+S_△OBP
=

1

2

×6×3+

1

2

×6×|-t|
=9+3t．
∵0＜S≤18，
∴0＜9+3t≤18，
∴-3＜t≤3．
又∵t＞0，
∴0＜t≤3．
當(dāng)P在第二象限時(shí)（t＜0），
作PM⊥x軸于M，設(shè)對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為N，
則S=S_梯形ANMP+S_△ANB-S_△PMO
=

1

2

（t-3）²+

9

2

-

1

2

t²，
=-3t+9；
∵0＜S≤18，
∴0＜-3t+9≤18，
∴-3≤t＜3；
又∵t＜0，
∴-3≤t＜0；
∴t的取值范圍是-3≤t＜0或0＜t≤3．
故答案為：-3≤t＜0或0＜t≤3（-3≤t≤3）；
②存在，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（3，3）或（6，0）或（-3，-9）．
由（2）知t的最大值為3，則P（3，-3）；
過(guò)O、P作直線m、n垂直于直線l；
∵直線l的解析式為y=-x，
∴直線m的解析式為y=x；
可設(shè)直線n的解析式為y=x+h，則有：
3+h=-3，h=-6；
∴直線n：y=x-6；
聯(lián)立直線m與拋物線的解析式有：

y=x y=- 1 3 x2+2x

，
解得

x=0 y=0

或

x=3 y=3

；
∴Q₁（3，3）；
同理可聯(lián)立直線n與拋物線的解析式，求得Q₂（6，0），Q₃（-3，-9）．
故答案為：（3，3）或（6，0）或（-3，-9）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的確定，函數(shù)圖象交點(diǎn)及圖形面積的求法等重要知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．