Question

如圖，在?ABCD中，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，∠AND=90°，連接CM交DN于點(diǎn)O．
（1）求證：△ABN≌△CDM；
（2）四邊形AMCN可能是矩形嗎？為什么？
（3）猜想四邊形CDMN是什么特殊的四邊形？證明你的猜想；
（4）過點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E，交DN于點(diǎn)P，若PE=1，∠1=∠2，求AD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)叫平行四邊的性質(zhì)就可以得出AB=CD，∠B=∠ADC，再由M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)就可以得出BN=DM，從SAS證明△ABN≌△CDM；
（2）假若四邊形AMCN是矩形，就有∠ANC=90°，就有∠AND=∠ANC=90°就有點(diǎn)D，點(diǎn)C重合而矛盾，就可以得出四邊形AMCN不可能是矩形；
（3）先由MD=NC，MD∥NC就可以得出四邊形MNCD是平行四邊形，由直角三角形的性質(zhì)就可以得出MD=MN，進(jìn)而得出結(jié)論；
（4）根據(jù)菱形的性質(zhì)就可以得出∠2=∠3=∠4=30°，就可以求出NE的值，進(jìn)而可以求出NC的值而求出BC的值得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵ABCD是平行四邊形
∴AB=CD，∠B=∠CDA，AD=BC
∵M(jìn)、N是中點(diǎn)
∴DM=BN，
在△ABN和△CDM中，

AB=CD ∠B=∠CDA BN=DM

，
∴△ABN≌△CDM（SAS）；
（2）不可能，因?yàn)椤螦ND=90°，所以∠ANC＞90°；
所以AMCN不可能是矩形；
（3）猜想：四邊形CDMN是菱形．
理由：∵△ABN≌△CDM
∴BN=MD
∵BN=NC，AD∥BC
∴MD∥NC，MD=NC
∴CDMN是平行四邊形
∵NM是Rt△AND斜邊上的中線，
∴NM=MD
∵NM=MD，且CDMN是平行四邊形
∴CDMN是菱形．
（4）∵CDMN是菱形，
∴MD∥NC，∠3=∠4，
∴∠1=∠4，
∴∠1=∠3=∠4．
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3=∠4．
∵CE⊥MN，
∴∠CEN=90°
∴∠2+∠3+∠4=90°
∴∠2=∠3=∠4=30°
∴∠MNC=60°．
∵NM=NC
∴△MNC是等邊三角形．
∵CE⊥MN
∴E為MN的中點(diǎn)
∴NE=

1

2

MN=

1

2

MD=

1

4

AD
在Rt△PEN中，∠3=30°，PE=1，
∴NE=

3

∴AD=4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，菱形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等邊三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用平行四邊形和菱形的性質(zhì)是關(guān)鍵．