【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象與y軸交于點A(0,4),與x軸交于點BC,點C坐標為(8,0),連接AB、AC

(1)請直接寫出二次函數(shù)y=ax2+x+c的表達式;

(2)判斷△ABC的形狀,并說明理由;

(3)若點Nx軸上運動,當以點AN、C為頂點的三角形是等腰三角形時,請直接寫出此時點N的坐標;

(4)若點N在線段BC上運動(不與點B、C重合),過點NNMAC,交AB于點M,當△AMN面積最大時,求此時點N的坐標.

【答案】(1;

2△ABC是直角三角形 ,理由參見解析;

3)(-8,0)、(8-,0)、(3,0)、(8+,0);

4)(3,0).

【解析】試題分析:(1)由A點坐標確定解析式中c值,再把C點坐標代入解析式求出a值,從而確定此解析式;(2)根據解析式求出B點坐標,在Rt△AOB中,利用勾股定理求出AB,在Rt△AOC中,利用勾股定理求出AC,然后利用勾股定理的逆定理驗證△ABC是直角三角形;(3)滿足△ANC為等腰三角形的N點有四個,在x軸負半軸有兩點,滿足AN=ACAC=NC,在x軸正半軸存在兩點,滿足AN=CN,AC=NC,然后先求出AC長,利用等腰三角形兩腰相等,和勾股定理易求出N點橫坐標,因為Nx軸上,所以縱坐標是0,從而得到N點坐標.(4)先找到自變量,設點N的坐標為(n0),則BN=n+2,過M點作MD⊥x軸于點D,利用平行線分線段成比例定理和三角形相似把MDn表示出來,這樣△AMN的面積就用△ABN的面積減去△BMN的面積,從而建立Sn的二次函數(shù),討論n的取值及函數(shù)最大值,即可求出△AMN面積最大時,點N的坐標.

試題解析:(1A0,4),c=4,,把點C坐標(8,0)代入解析式,得:a=,二次函數(shù)表達式為;(2)令y=0,則解得,x1=8,x2="-2" ,B的坐標為(-20),由已知可得,在RtAOB中,AB2=BO2+AO2=22+42=20,在RtAOCAC2=AO2+CO2=42+82=80,又BC=OB+OC=2+8=10,ABCAB2+ AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形;(3)由勾股定理先求出ACAC==,x軸負半軸,當AC=AN時,NO=CO=8,此時N-8,0);x軸負半軸,當AC=NC時,NC=AC=,CO=8,NO=-8此時N8-,0);x軸正半軸,當AN=CN時,設CN=x,則AN=x,ON=8-x,在RtAON中, =,解得:x=5,ON=3,此時N30);x軸正半軸,當AC=NC時,AC=NC=ON=8,此時N8,0);綜上所述:滿足條件的N點坐標是(-8,0)、(8-,0)、(3,0)、(8+,0);(4)設點N的坐標為(n,0),則BN=n+2,過M點作MDx軸于點D,MDOA,∴△BMD∽△BAO, MNAC,,,OA=4,BC=10,BN=n+2,MD=n+2),SAMN= SABN- SBMN=

=+5,<0n=3時,S有最大值,AMN面積最大時,N點坐標為(3,0).

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當0<x<3時,y1<y2;

如圖,當x=3時,EF=

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