Question

【題目】（1）如圖1，AM∥CN，求證：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；

②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；

（2）如圖2，若平行線AM與CN間有n個(gè)點(diǎn)，根據(jù)（1）中的結(jié)論寫出你的猜想并證明．

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②詳見解析；（2）猜想：若平行線間有n個(gè)點(diǎn)，則所有角的和為（n+1）180°，證明詳見解析

【解析】

（1）①過點(diǎn)作BG∥AM，則AM∥CN∥BG，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到結(jié)論；②過E作EP∥AM，過F作FQ∥CN，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到結(jié)論；（2）過n個(gè)點(diǎn)作AM的平行線，則這些直線互相平行且與CN平行，即可得出所有角的和為（n+1）180°．

解：（1）①證明：如圖1，過點(diǎn)作BG∥AM，則AM∥CN∥BG

∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°

∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360°

∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°

②如圖，過E作EP∥AM，過F作FQ∥CN，

∵AM∥CN，∴EP∥FQ，

∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°

∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；

（2）猜想：若平行線間有n個(gè)點(diǎn)，則所有角的和為（n+1）180°．

證明：如圖2，過n個(gè)點(diǎn)作AM的平行線，則這些直線互相平行且與CN平行，

∴結(jié)合（1）問得：

所有角的和為（n+1）180°．