Question

正方形ABCD中，P為直線BC上的一點(diǎn)，DP的垂直平分線交射線DC于M，交DP于E，交射線AB于N．
（1）當(dāng)點(diǎn)M在CD邊上時，如圖①，求證：PM-CP=AN；
（2）當(dāng)點(diǎn)M在邊延長線上，如圖②、圖③的位置時，上述結(jié)論是否成立？寫出你的猜想，不需要證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）過N作NQ∥AD，則NQ=AD，AN=DQ，易證∠MNQ=∠PDC，即可證明△MNQ≌△PDC，可得QM=PC，再根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得DM=PM，即可解題；
（2）①作MQ∥BF，則AQ=DM，QM=AD=CD，易證∠NMQ=∠MDE，即可證明△NMQ≌△PDC，可得QN=PC，再根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得PM=AQ，即可解題；
③作NQ∥BC，則NQ=AD=CD，AN=DQ，易證∠NMD=∠CPD，即可證明△CDP≌△EDM，可得QM=CP，再根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得DM=PM，即可解題．

解答：證明：（1）過N作NQ∥AD，則NQ=AD，AN=DQ，

∵M(jìn)N是PD垂直平分線，
∴DM=PM，
∵∠NMQ+∠MNQ=90°，∠NMQ+∠PDC=90°，
∴∠MNQ=∠PDC，
∵在△MNQ和△PDC中，

∠MQN=∠PCD=90° NQ=CD ∠MNQ=∠PDC

，
∴△MNQ≌△PDC，（ASA）
∴QM=PC，
∵DM=DQ+QM，
∴PM=AN+PC，即PM-CP=AN；
（2）①M(fèi)在圖②位置時，不成立，新結(jié)論為AN=PM+CP；
理由：作MQ∥BF，則AQ=DM，QM=AD=CD，∠QMD=90°，

∵EF是PD垂直平分線，∴DM=PM，
∴PM=AQ，
∵∠NMQ+∠DME=90°，∠DME+∠MDE=90°，
∴∠NMQ=∠MDE，
∵在△NMQ和△PDC中，

∠NMQ=∠MDE QM=CD ∠MQN=∠DCP=90°

，
∴△NMQ≌△PDC，（ASA）
∴QN=PC，
∵AN=AQ+QN，
∴AN=PM+CP；
②M在圖③位置時，成立，
理由：作NQ∥BC，則NQ=AD=CD，AN=DQ，

∵EM是PD的垂直平分線，
∴DM=PM，
∵∠NMD+∠MDE=90°，∠CPD+∠MDE=90°，
∴∠NMD=∠CPD，
∵在△CDP和△EDM中，

∠NMD=∠CPD ∠MQN=∠PCD CD=NQ

，
∴△CDP≌△EDM，（AAS）
∴QM=CP，
∵DM=QM+DQ，
∴PM=AN+CP，即PM-CP=AN．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△MNQ≌△PDC、△NMQ≌△PDC和△CDP≌△EDM是解題的關(guān)鍵．