【題目】如圖,菱形ABCD的邊長為48cm,∠A=60°,動點P從點A出發(fā),沿著線路AB﹣BD做勻速運動,動點Q從點D同時出發(fā),沿著線路DC﹣CB﹣BA做勻速運動.
(1)求BD的長;
(2)已知動點P、Q運動的速度分別為8cm/s、10cm/s.經(jīng)過12秒后,P、Q分別到達M、N兩點,試判斷△AMN的形狀,并說明理由,同時求出△AMN的面積;
(3)設(shè)問題(2)中的動點P、Q分別從M、N同時沿原路返回,動點P的速度不變,動點Q的速度改變?yōu)閍 cm/s,經(jīng)過3秒后,P、Q分別到達E、F兩點,若△BEF為直角三角形,試求a的值.
【答案】(1)48cm;(2)288(cm2);(3)若△BEF為直角三角形,a的值為4或12或24.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得AB=BC=CD=AD=48,加上∠A=60°,于是可判斷△ABD是等邊三角形,所以BD=AB=48;
(2)如圖1,根據(jù)速度公式得到12秒后點P走過的路程為96cm,則點P到達點D,即點M與D點重合,12秒后點Q走過的路程為120cm,而BC+CD=96,易得點Q到達AB的中點,即點N為AB的中點,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得MN⊥AB,即△AMN為直角三角形,然后根據(jù)等邊三角形面積可計算出S△AMN=288cm2;
(3)由△ABD為等邊三角形得∠ABD=60°,根據(jù)速度公式得經(jīng)過3秒后點P運動的路程為24cm、點Q運動的路程為3acm,所以BE=DE=24cm,
然后分類討論:當點Q運動到F點,且點F在NB上,如圖1,則NF=3a,BF=BN﹣NF=24﹣3a,由于△BEF為直角三角形,而∠FBE=60°,只能得到∠EFB=90°,所以∠FEB=30°,根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得24﹣3a=×24,解得a=4;當點Q運動到F點,且點F在BC上,如圖2,則NF=3a,BF=BN﹣NF=3a﹣24,由于△BEF為直角三角形,而∠FBE=60°,若∠EFB=90°,則∠FEB=30°,根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得3a﹣24=×24,解得a=12;若∠EFB=90°,易得此時點F在點C處,則3a=24+48,解得a=24.
解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD=48,
∵∠A=60°,
∴△ABD是等邊三角形,
∴BD=AB=48,
即BD的長是48cm;
(2)如圖1,12秒后點P走過的路程為8×12=96,則12秒后點P到達點D,即點M與D點重合,
12秒后點Q走過的路程為10×12=120,而BC+CD=96,所以點Q到B點的距離為120﹣96=24,則點Q到達AB的中點,即點N為AB的中點,
∵△ABD是等邊三角形,而MN為中線,
∴MN⊥AB,
∴△AMN為直角三角形,
∴S△AMN=S△ABD=××482=288(cm2);
(3)∵△ABD為等邊三角形,
∴∠ABD=60°,
經(jīng)過3秒后,點P運動的路程為24cm、點Q運動的路程為3acm,
∵點P從點M開始運動,即DE=24cm,
∴點E為DB的中點,即BE=DE=24cm,
當點Q運動到F點,且點F在NB上,如圖1,則NF=3a,
∴BF=BN﹣NF=24﹣3a,
∵△BEF為直角三角形,
而∠FBE=60°,
∴∠EFB=90°(∠FEB不能為90°,否則點F在點A的位置),
∴∠FEB=30°,
∴BF=BE,
∴24﹣3a=×24,
∴a=4;
當點Q運動到F點,且點F在BC上,如圖2,則NF=3a,
∴BF=BN﹣NF=3a﹣24,
∵△BEF為直角三角形,
而∠FBE=60°,
若∠EFB=90°,則∠FEB=30°,
∴BF=BE,
∴3a﹣24=×24,
∴a=12;
若∠EFB=90°,即FB⊥BD,
而DE=BE,
∴點F在BD的垂直平分線上,
∴此時點F在點C處,
∴3a=24+48,
∴a=24,
綜上所述,若△BEF為直角三角形,a的值為4或12或24.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,BC為⊙O的直徑,A為圓上一點,點F為 的中點,延長AB、AC,與過F點的切線交于D、E兩點.
(1)求證:BC∥DE;
(2)若BC:DF=4:3,求tan∠ABC的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn),一般情況下,學(xué)生的注意力隨著教師講課時間的變化而變化,講課開始時學(xué)生的注意力逐步增強,中間有一段時間學(xué)生的注意力保持較為理想的狀態(tài),隨后學(xué)生的注意力開始分散,經(jīng)過實驗分析可知,一般地,學(xué)生的注意力y隨時間t的變化情況如下表:
上課時間t(分) | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 |
學(xué)生的注意力y | 100 | 191 | 240 | 240 | 240 | 205 | 170 | 135 | 100 | 65 |
(1)講課開始后第5分鐘時與講課開始后第25分鐘時比較,何時學(xué)生的注意力更集中?
(2)從表中觀察,講課開始后,學(xué)生的注意力最集中的時間是那一段?
(3)從表中觀察,講課開始后,學(xué)生的注意力從第幾分鐘起開始下降?猜想注意力下降過程中y與t的關(guān)系,并用式子表示出來。
用(3)題中的關(guān)系式,求當t=27分時,學(xué)生的注意力y的值是多少。現(xiàn)有一道數(shù)學(xué)難題,需要講解20分鐘,為了效果更好,要求學(xué)生的注意力最低達到190,那么老師能否在學(xué)生注意力達到所需狀態(tài)下講完這道題目,試著說明理由。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用火柴棒按如圖方式拼圖,第1個圖形共用3根火柴棒,第2個圖形共用9根火柴棒,第3個圖形共用18根火柴棒,……按照這樣的方式繼續(xù)拼圖,第n個圖形共用_____根火柴棒.(用含n的代數(shù)式表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題:如圖(1),點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.
(1)【發(fā)現(xiàn)證明】
小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD,請你利用圖(1)證明上述結(jié)論.
(2)【類比引申】
如圖(2),四邊形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,點E、F分別在邊BC、CD上,則當∠EAF與∠BAD滿足關(guān)系時,仍有EF=BE+FD.
(3)【探究應(yīng)用】
如圖(3),在某公園的同一水平面上,四條通道圍成四邊形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC、CD上分別有景點E、F,且AE⊥AD,DF=40( ﹣1)米,現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路,求這條道路EF的長(結(jié)果取整數(shù),參考數(shù)據(jù): =1.41, =1.73)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,線段AB和射線BM交于點B.
(1)利用尺規(guī)完成以下作圖,并保留作圖痕跡(不寫作法)
①在射線BM上作一點C,使AC=AB;
②作∠ABM 的角平分線交AC于D點;
③在射線CM上作一點E,使CE=CD,連接DE.
(2)在(1)所作的圖形中,猜想線段BD與DE的數(shù)量關(guān)系,并證明之.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題8分)△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示,其中每個小正方形的邊長為1個單位長度.
(1)按要求作圖:
①畫出△ABC關(guān)于原點O的中心對稱圖形△A1B1C1;
②畫出將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB2C2,
(2)回答下列問題:
①△A1B1C1中頂點A1坐標為 ;②若P(a,b)為△ABC邊上一點,則按照(1)中①作圖,點P對應(yīng)的點P1的坐標為 .
【答案】(1)作圖見解析;(2)(1,-2)(-a,-b)
【解析】試題分析:(1)首先找出對應(yīng)點的位置,再順次連接即可;
(2)①根據(jù)圖形可直接寫出坐標;②根據(jù)關(guān)于原點對稱點的坐標特點可得答案.
試題解析:(1)如圖所示:
(2)①根據(jù)圖形可得A1坐標為(2,﹣4);
②點P1的坐標為(﹣a,﹣b).
故答案為:(﹣2,﹣4);(﹣a,﹣b).
考點:作圖-旋轉(zhuǎn)變換.
【題型】填空題
【結(jié)束】
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【題目】在學(xué)習(xí)了“普查與抽樣調(diào)查”之后,某校八(1)班數(shù)學(xué)興趣小組對該校學(xué)生的視力情況進行了抽樣調(diào)查,并畫出了如圖所示的條形統(tǒng)計圖.請根據(jù)圖中信息解決下列問題:
(1)本次抽查活動中共抽查了 名學(xué)生;
(2)已知該校七年級、八年級、九年級學(xué)生數(shù)分別為360人、400人、540人.
①試估算:該校九年級視力不低于4.8的學(xué)生約有 名;
②請你幫忙估算出該校視力低于4.8的學(xué)生數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠A=60°,點E、F分別為AD、DC上的動點,∠EBF=60°,點E從點A向點D運動的過程中,AE+CF的長度( )
A. 逐漸增加 B. 逐漸減小
C. 保持不變且與EF的長度相等 D. 保持不變且與AB的長度相等
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在3×3的方格紙中,點A、B、C、D、E、F分別位于如圖所示的小正方形的頂點上.
(1)從A、D、E、F四個點中任意取一點,以所取的這一點及點B、C為頂點畫三角形,則所畫三角形是等腰三角形的概率是;
(2)從A、D、E、F四個點中先后任意取兩個不同的點,以所取的這兩點及點B、C為頂點畫四邊形,求所畫四邊形是平行四邊形的概率是(用樹狀圖或列表法求解).
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