Question

如圖，P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=5，PC=12，PB=13，若△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，得到△AP₁C，則∠AP₁C=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的逆定理

專題：

分析：連接PP₁，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得△AP₁C和△APB全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得P₁A=PA，P₁C=PB，然后證明△APP₁是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的每一個(gè)角都是60°可得∠AP₁P=60°，每一條邊都相等可得PP₁=PA，再根據(jù)勾股定理逆定理證明△P₁PC是直角三角形，然后根據(jù)∠AP₁C=∠AP₁P+∠PP₁C代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答：解：如圖，連接PP₁，
∵△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP₁C，
∴△AP₁C≌△APB，
∴P₁A=PA=5，P₁C=PB=12，
∵旋轉(zhuǎn)角是60°，
∴△APP₁是等邊三角形，
∴∠AP₁P=60°，PP₁=PA=5，
∵PP₁²+PC²=5²+12²=169，P₁C²=PB²=13²=169，
∴PP₁²+PC²=P₁C²，
∴△P₁PC是以∠P₁PC為直角的直角三角形，
∴∠AP₁C=∠AP₁P+∠PP₁C=60°+90°=150°．
故答案為：150°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理逆定理的應(yīng)用，作輔助線構(gòu)造出等邊三角形與直角三角形是解題的關(guān)鍵．