Question

【題目】已知直線y=﹣ x+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P在拋物線y=﹣ （x﹣ ）2+4上，能使△ABP為等腰三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有（ ）
A.3個(gè)
B.4個(gè)
C.5個(gè)
D.6個(gè)

Answer 1

【答案】A
【解析】解：以點(diǎn)B為圓心線段AB長(zhǎng)為半徑做圓，交拋物線于點(diǎn)C、M、N點(diǎn)，連接AC、BC，如圖所示．
令一次函數(shù)y=﹣ x+3中x=0，則y=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3）；
令一次函數(shù)y=﹣ x+3中y=0，則﹣ x+3=0，
解得：x= ，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ，0）．
∴AB=2 ．
∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x= ，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2 ，3），
∴AC=2 =AB=BC，
∴△ABC為等邊三角形．
令y=﹣ （x﹣ ）2+4中y=0，則﹣ （x﹣ ）2+4=0，
解得：x=﹣ ，或x=3 ．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣ ，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3 ，0）．
△ABP為等腰三角形分三種情況：
①當(dāng)AB=BP時(shí)，以B點(diǎn)為圓心，AB長(zhǎng)度為半徑做圓，與拋物線交于C、M、N三點(diǎn)；
②當(dāng)AB=AP時(shí)，以A點(diǎn)為圓心，AB長(zhǎng)度為半徑做圓，與拋物線交于C、M兩點(diǎn)，；
③當(dāng)AP=BP時(shí)，作線段AB的垂直平分線，交拋物線交于C、M兩點(diǎn)；
∴能使△ABP為等腰三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有3個(gè)．
故選A．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰三角形的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱(chēng)：等角對(duì)等邊）．這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等才能正確解答此題．