【題目】已知二次函數(shù)yax2+bx+c,當(dāng)x3時(shí),y有最小值﹣4,且圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,12)

(1)求此二次函數(shù)的解析式;

(2)該拋物線交x軸于點(diǎn)AB(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),交y軸于點(diǎn)C,在拋物線對稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P,求PA+PC的最小值,并求當(dāng)PA+PC取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1) yx26x5;(2) 當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,2)時(shí),PAPC取最小值,最小值為5

【解析】

1)由頂點(diǎn)坐標(biāo)將二次函數(shù)的解析式設(shè)成y=ax-32-4,由該函數(shù)圖象上一點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式;

2)利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A、BC的坐標(biāo),由二次函數(shù)圖象的對稱性可得出連接BC交拋物線對稱軸于點(diǎn)P,此時(shí)PA+PC取最小值,最小值為BC,根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)可求出直線BC的解析式及線段BC的長度,再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo),此題得解.

1)∵當(dāng)x=3時(shí),y有最小值-4,

∴設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax-32-4

∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1,12),

12=16a-4,

a=1

∴二次函數(shù)的解析式為y=x-32-4=x2-6x+5

2)當(dāng)y=0時(shí),有x2-6x+5=0,

解得:x1=1,x2=5,

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0);

當(dāng)x=0時(shí),y=x2-6x+5=5

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,5).

連接BC交拋物線對稱軸于點(diǎn)P,此時(shí)PA+PC取最小值,最小值為BC,如圖所示.

設(shè)直線BC的解析式為y=mx+nm≠0),

B5,0)、C0,5)代入y=mx+n,得:

,解得:

∴直線BC的解析式為y=-x+5

B5,0)、C0,5),

BC=5

∵當(dāng)x=3時(shí),y=-x+5=2,

∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,2)時(shí),PA+PC取最小值,最小值為5

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