Question

（1）說出定理“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”的逆命題并證明這個逆命題是真命題．
（2）求證：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點．

Answer 1

考點：命題與定理,線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）把原命題的題設(shè)與結(jié)論交換得到逆命題，然后寫出已知、求證，利用三角形全等的方法證明逆命題為真命題；
（2）先寫出已知、求證、證明，然后根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和逆定理進行證明．

解答：（1）解：“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”的逆命題為“到線段兩端的距離相等的點在線段垂直平分線上”．此逆命題為真命題．
已知：如圖，CA=CB，
求證：點C在線段AB的垂直平分線上．
證明：作CD⊥AB，如圖1，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
在Rt△ADC和△Rt△BDC中，

CD=CD AC=BC

，
∴Rt△ADC≌△Rt△BDC，
∴AD=BD，
∴CD垂直平分AB，
即點C在線段AB的垂直平分線上；
（2）已知：如圖2，點O為邊AB與CB的垂直平分線的交點，
求證：點O在AC的垂直平分線上．
證明：∵點O為邊AB與CB的垂直平分線的交點，
∴OA=OB，OB=OC，
∴OA=OC，
∴點O在AC的垂直平分線上，
即三角形三條邊的垂直平分線相交于一點．

點評：本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式；有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．也考查了逆命題．