Question

如圖，在等邊△ABC中，B（-1，0）、C（1，0），以底邊BC的垂直平分線和BC所在直線建立平面直角坐標(biāo)系，把△ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)60°的得到△DEF，（旋轉(zhuǎn)后D與A、E與B、F與C對應(yīng)）
（1）求：經(jīng)過A、B、D三點的拋物線解析式
②在拋物線的對稱軸上存在一點，使得以點C、D、M為頂點的三角形是直角三角形，請直接寫出點M的坐標(biāo)；
 （3）在直線BD上方的拋物線上是否存在一點P，使得△PBD的面積S_△PBD=

1

4

S_{四邊形ABCD}？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)求出AD∥x軸，然后寫出點D的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，AD與對稱軸垂直，所以交點即為所求的點M；點D為直角頂點時，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出CM，然后寫出點M的坐標(biāo)即可；
（3）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線BD的解析式，設(shè)過點P與y軸平行的直線與直線BD相交于點Q，表示出PQ，再利用三角形的面積公式和平行四邊形的面積公式列出方程，求出x值，然后利用拋物線解析式求解即可．

解答：解：（1）∵等邊△ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)60°的得到△DEF，（旋轉(zhuǎn)后D與A、E與B、F與C對應(yīng)），
∴∠CAD=∠ACB=60°，
∴AD∥x軸，
∵B（-1，0）、C（1，0），
∴BC=2，AO=

3

2

×2=

3

，
∴點A的坐標(biāo)為（0，

3

），點D的坐標(biāo)為（2，

3

），
設(shè)經(jīng)過A、B、D三點的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
則

c= 3 a-b+c=0 4a+2b+c= 3

，
解得

a=- 3 3 b= 2 3 3 c= 3

，
所以，拋物線解析式為y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

；

（2）∵AD∥x軸，
∴點M為AD與對稱軸的交點時∠CMD=90°，
此時，M₁（1，

3

），
若點D為直角頂點，則△CDM₁∽△CM₂D，
∴

CM1

CD

=

CD

CM2

，
即

3

2

=

2

CM2

，
解得CM₂=

4 3

3

，
此時，點M₂（1，

4 3

3

），
綜上所述，M₁（1，

3

），M₂（1，

4 3

3

）時，以點C、D、M為頂點的三角形是直角三角形；

（3）設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，
則

-k+b=0 2k+b= 3

，
解得

k= 3 3 b= 3 3

，
所以，y=

3

3

x+

3

3

，
設(shè)過點P與y軸平行的直線與直線BD相交于點Q，
則PQ=（-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

）-（

3

3

x+

3

3

）=-

3

3

x²+

3

3

x+

2 3

3

，
∵S_△PBD=

1

4

S_{四邊形ABCD}，
∴

1

2

×（-

3

3

x²+

3

3

x+

2 3

3

）×（2+1）=

1

4

×2×

3

，
整理得，x²-x-1=0，
解得x₁=

1+ 5

2

，x₂=

1- 5

2

，
所以，y₁=

15

6

+

5 3

6

，y₂=

5 3

6

-

15

6

，
所以，點P的坐標(biāo)為（

1+ 5

2

，

15

6

+

5 3

6

）或（

1- 5

2

，

5 3

6

-

15

6

）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題，主要利用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)，難點在于（2）要分情況討論，（3）表示出△PBD的面積．