Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．點D是AB的中點，連結(jié)CD，過點B作BG⊥CD，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連結(jié)DF．給出以下四個結(jié)論：①

AG

AB

=

FG

FB

；②點F是GE的中點；③AF=

2

3

AB；④S_△ABC=5S_△BDF，其確的結(jié)論是 （　　）

• A、①④
• B、①②③
• C、①③
• D、①②③④

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：根據(jù)同角的余角相等求出∠ABG=∠BCD，然后利用“角邊角”證明△ABC和△BCD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AG=BD，然后求出AG=

1

2

BC，再求出△AFG和△CFB相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得

AG

AB

=

FG

FB

，從而判斷出①正確；求出FG=

1

2

FB，然后根據(jù)FE≠BE判斷出②錯誤；根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出

AF

FC

=

1

2

，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=

2

AB，然后整理即可得到AF=

2

3

AB，判斷出③正確；過點F作MF⊥AB于M，根據(jù)三角形的面積整理即可判斷出④錯誤．

解答：解：∵∠ABC=90°，BG⊥CD，
∴∠ABG+∠CBG=90°，∠BCD+∠CBG=90°，
∴∠ABG=∠BCD，
在△ABC和△BCD中，

∠ABG=∠BCD AB=BC ∠BAG=∠CBD=90°

，
∴△ABG≌和△BCD（ASA），
∴AG=BD，
∵點D是AB的中點，
∴BD=

1

2

AB，
∴AG=

1

2

BC，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∵AG⊥AB，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴

AG

CB

=

FG

FB

，
∵BA=BC，
∴

AG

AB

=

FG

FB

，故①正確；
∵△AFG∽△CFB，
∴

GF

BF

=

AG

BC

=

1

2

，
∴FG=

1

2

FB，
∵FE≠BE，
∴點F是GE的中點不成立，故②錯誤；
∵△AFG∽△CFB，
∴

AF

CF

=

AG

AC

=

1

2

，
∴AF=

1

3

AC，
∵AC=

2

AB，
∴AF=

2

3

AB，故③正確；
過點F作MF⊥AB于M，則FM∥CB，
∴

AF

AC

=

FM

BC

=

1

3

，
∵

BD

BA

=

1

2

，
∴

S△BDF

S△ABC

=

1 2 BD•FM

1 2 AB•BC

=

BD

AB

•

FM

BC

=

1

2

•

1

3

=

1

6

，故④錯誤．
綜上所述，正確的結(jié)論有①③共2個．
故選C．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法和相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．