【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A為圓心,任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N,再分別以M、N為圓心,大于MN的長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,連接AP,并廷長交BC于點(diǎn)D,則下列說法中正確的個數(shù)是( 。
①AD是∠BAC的平分線
②∠ADC=60°
③點(diǎn)D在AB的垂直平分線上
④若AD=2dm,則點(diǎn)D到AB的距離是1dm
⑤S△DAC:S△DAB=1:2
A.2B.3C.4D.5
【答案】D
【解析】
①根據(jù)作圖的過程可以判定AD是∠BAC的角平分線;
②利用角平分線的定義可以推知∠CAD=30°,則由直角三角形的性質(zhì)來求∠ADC的度數(shù);
③利用等角對等邊可以證得△ADB的等腰三角形,由等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)可以證明點(diǎn)D在AB的中垂線上;
④作DH⊥AB于H,由∠1=∠2,DC⊥AC,DH⊥AB,推出DC=DH即可解決問題;
⑤利用30度角所對的直角邊是斜邊的一半、三角形的面積計算公式來求兩個三角形的面積之比.
解:①根據(jù)作圖的過程可知,AD是∠BAC的平分線,故①正確;
②如圖,∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°.
又∵AD是∠BAC的平分線,
∴∠1=∠2=∠CAB=30°,
∴∠3=90°﹣∠2=60°,即∠ADC=60°.故②正確;
③∵∠1=∠B=30°,
∴AD=BD,
∴點(diǎn)D在AB的中垂線上.故③正確;
④作DH⊥AB于H,
∵∠1=∠2,DC⊥AC,DH⊥AB,
∴DC=DH,
在Rt△ACD中,CD=AD=1dm,
∴點(diǎn)D到AB的距離是1dm;故④正確,
⑤在Rt△ACB中,∵∠B=30°,
∴AB=2AC,
∴S△DAC:S△DAB=ACCD:ABDH=1:2;故⑤正確.
綜上所述,正確的結(jié)論是:①②③④⑤,共有5個.
故選:D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)中,四邊形為矩形,如圖1,點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)坐標(biāo)為,已知滿足.
(1)求的值;
(2)①如圖1,分別為上一點(diǎn),若,求證:;
②如圖2,分別為上一點(diǎn),交于點(diǎn). 若,,則___________
(3)如圖3,在矩形中,,點(diǎn)在邊上且,連接,動點(diǎn)在線段是(動點(diǎn)與不重合),動點(diǎn)在線段的延長線上,且,連接交于點(diǎn),作于. 試問:當(dāng)在移動過程中,線段的長度是否發(fā)生變化?若不變求出線段的長度;若變化,請說明理由.
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【題目】二次根式的化簡中,若被開方數(shù)還有根號,有的能將被開方數(shù)化成另一個二次根式的平方的形式,比如:,聰明的你可以繼續(xù)探究,當(dāng)a,b,m,n為正整數(shù)時,若,則有,所以.模仿上述探究解決下列問題:
(1)當(dāng)a,b,m,n為正整數(shù)時,,請用含m,n的代數(shù)式分別表示a,b:a= ,b= .
(2)填空:=( + )2
(3)若,且a,m,n均為正整數(shù),求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為紀(jì)念建國70周年,我市某中學(xué)團(tuán)委擬組織學(xué)生開展唱紅歌比賽活動,為此,該校隨機(jī)抽取部分學(xué)生就“你是否喜歡紅歌”進(jìn)行問卷調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計后繪制成如下統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖.
態(tài)度 | 非常喜歡 | 喜歡 | 一般 | 不知道 |
頻數(shù) | 90 | b | 30 | 10 |
頻率 | a |
請你根據(jù)統(tǒng)計圖、表提供的信息解答下列問題:
該校這次隨機(jī)抽取了______名學(xué)生參加問卷調(diào)查;
確定統(tǒng)計表中的值:______,______;
在統(tǒng)計圖中“喜歡”部分扇形所對應(yīng)的圓心角是______度;
若該校共有2000名學(xué)生,估計全校態(tài)度為“非常喜歡”的學(xué)生有______人
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,一農(nóng)戶要建一個矩形豬舍,豬舍的一邊利用長為12m的住房墻,另外三邊用25m長的建筑材料圍成.
(1)要使所圍矩形豬舍的面積達(dá)到50m2,求豬舍的長和寬.
(2)農(nóng)戶想在現(xiàn)有材料的基礎(chǔ)上擴(kuò)建矩形豬舍面積達(dá)到60m2,小紅為該農(nóng)戶提出了一個意見:“為方便進(jìn)出,在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門就行”,如圖2,請通過計算求小紅設(shè)計的豬舍的長和寬?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn) A(﹣2,0),B(2,0),C(0,2),點(diǎn) D,點(diǎn)E分別是 AC,BC的中點(diǎn),將△CDE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△CD′E′,及旋轉(zhuǎn)角為α,連接 AD′,BE′.
(1)如圖①,若 0°<α<90°,當(dāng) AD′∥CE′時,求α的大;
(2)如圖②,若 90°<α<180°,當(dāng)點(diǎn) D′落在線段 BE′上時,求 sin∠CBE′的值;
(3)若直線AD′與直線BE′相交于點(diǎn)P,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可).
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【題目】如圖,在中,,點(diǎn)在內(nèi),,,點(diǎn)在外,,.
(1)求的度數(shù);
(2)判斷的形狀并加以證明;
(3)連接,若,,求的長.
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【題目】我們新定義一種三角形:兩邊平方和等于第三邊平方的4倍的三角形叫做常態(tài)三角形.例如:某三角形三邊長分別是5,6和8,因為,所以這個三角形是常態(tài)三角形.
(1)若三邊長分別是2,和4,則此三角形 常態(tài)三角形(填“是”或“不是” ;
(2)如圖,中,,,點(diǎn)為的中點(diǎn),連接,若是常態(tài)三角形,求的面積.
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【題目】如圖,以點(diǎn)P(﹣1,0)為圓心的圓,交x軸于B、C兩點(diǎn)(B在C的左側(cè)),交y軸于A、D兩點(diǎn)(A在D的下方),AD=2,將△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°,得到△MCB.
(1)求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)請在圖中畫出線段MB、MC,并判斷四邊形ACMB的形狀(不必證明),求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)動直線l從與BM重合的位置開始繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn),到與BC重合時停止,設(shè)直線l與CM交點(diǎn)為E,點(diǎn)Q為BE的中點(diǎn),過點(diǎn)E作EG⊥BC于G,連接MQ、QG.請問在旋轉(zhuǎn)過程中∠MQG的大小是否變化?若不變,求出∠MQG的度數(shù);若變化,請說明理由.
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