Question

【題目】如圖，已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，E點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且FB=1．

（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，A，E三點(diǎn)的拋物線解析式；
（2）點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)△OAP的面積為2，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使△AFQ是等腰直角三角形？若存在直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：A的坐標(biāo)是（2，0），E的坐標(biāo)是（1，2）．

設(shè)拋物線的解析式是y=ax2+bx+c，

根據(jù)題意得： ，

解得： ．

則拋物線的解析式是y=﹣2x2+4x

（2）解：當(dāng)△OAP的面積是2時(shí)，P的縱坐標(biāo)是2或﹣2．

當(dāng)﹣2x2+4x=2時(shí)，解得：x=1，則P的坐標(biāo)是（1，2）；

當(dāng)﹣2x2+4x=﹣2時(shí)，解得：x=1± ，

此時(shí)P的坐標(biāo)是（1+ ，﹣2）或（1﹣ ，﹣2）

（3）解：AF=AB+BF=2+1=3．

OA=2，則A是直角頂點(diǎn)時(shí)，Q不可能在拋物線上；

當(dāng)F是直角頂點(diǎn)時(shí)，Q不可能在拋物線上；

當(dāng)Q是直角頂點(diǎn)時(shí)，Q到AF的距離是 AF= ，若Q存在，則Q的坐標(biāo)是（2﹣ ， ），即（ ， ），在拋物線上；

綜上，拋物線上存在Q點(diǎn)滿足題目要求

【解析】（1）先求出A、O、E三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法代入解析式即可；（2）因?yàn)镺A=2，所以當(dāng)△OAP的面積是2時(shí)，就是P到x軸的距離是2，即P的縱坐標(biāo)是2或﹣2，即﹣2x2+4x=2或2x2+4x=﹣2解方程；（3）△AFQ是等腰直角三角形可分類討論：A是直角頂點(diǎn)；F是直角頂點(diǎn)；Q是直角頂點(diǎn)；