Question

在平面坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A₁，作正方形A₁B₁C₁C，延長(zhǎng)C₁B₁交x軸于點(diǎn)A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，求C₂坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)點(diǎn)A、D的坐標(biāo)求出OA、OD，利用勾股定理列式求出AD，再求出△AOD與△A₁BA相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出A₁B，然后求出第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，同理求出第三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)C₂作C₂E⊥y軸于E，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出DE、C₂E，再求出OE，然后寫出點(diǎn)C₂的坐標(biāo)即可．

解答：解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），
∴OA=1，OD=2，
由勾股定理得，AD=

12+22

=

5

，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AB=BC=AD，
∴∠BAA₁=∠ODA，
又∵∠AOD=∠A₁BA=90°，
∴△AOD∽△A₁BA，
∴

A1B

AB

=

OA

OD

=

1

2

，
∴A₁B=

1

2

AB=

5

2

，
∴第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)A₁C=BC+A₁B=

5

+

5

2

=

3 5

2

，
同理可得第三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)A₂C₁=

3

2

×

3 5

2

=

9

4

5

，
∴DC₂=

5

+

3 5

2

+

9

4

5

=

19

4

5

，
過(guò)點(diǎn)C₂作C₂E⊥y軸于E，
易得△AOD∽△DEC₂，
所以，

DE

OA

=

C2E

OD

=

DC2

AD

，
即

DE

1

=

C2E

2

=

9 4 5

5

，
解得DE=

9

4

，C₂E=

9

2

，
所以，OE=2+

9

4

=

17

4

，
所以，點(diǎn)C₂的坐標(biāo)為（

17

4

，

9

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出相似三角形是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于分別求出正方形的邊長(zhǎng)并判斷出前后正方形邊長(zhǎng)的變化規(guī)律．