Question

【題目】已知邊長(zhǎng)為6的等邊中，是高所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)線段長(zhǎng)度的最小值時(shí)，的長(zhǎng)度為__________．

Answer 1

【答案】1.5

【解析】

取BA的中點(diǎn)G，連接EG，證明△EBG≌△FBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)EG=FD，所以只需要求得EG的最短值就好，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，當(dāng)GE⊥AD時(shí)，GE最短.此時(shí)在Rt△AGE中可求∠BAD=30°，從而根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)邊是斜邊的一半可求GE=AG=1.5.

解：如圖，取BA的中點(diǎn)G，連接EG，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠BAC=∠CBA=60°，AB=BC
∵旋轉(zhuǎn)角為60°，
∴∠EBD+∠DBF=60°，
又∵∠EBD+∠EBA=∠CBA=60°，
∴∠DBF=∠ABE，
∵AD是等邊△CBA的高，
∴DB=CB，∠BAD=×∠BAC=30°,

∵G為AB的中點(diǎn)

∴BG=AB，
∴DB=BG，
又∵EB旋轉(zhuǎn)到BF，
∴BE=BF，
在△EBG和△FBD中，

，
∴△EBG≌△FBD（SAS），
∴EG=FD，
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，EG⊥AD時(shí)，EG最短，即DF最短，
此時(shí)，

∵∠BAD=30°，AG=AB=×6=3，
∴EG=AG=×3=1. 5，
∴DF=1.5，
故答案為：1.5．