Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1.點(diǎn)D在BC邊上(不與B，C點(diǎn)重合)，作∠ADE＝45°，DE與AC交于點(diǎn)E.

(1)求證：△ABD ∽△DCE；

(2)設(shè)BD＝x，請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示AE；

(3)當(dāng)BD=1時(shí)，求△ADE的面積.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，易證△ABD∽△DCE．
（2）由△ABD∽△DCE，對(duì)應(yīng)邊成比例及等腰直角三角形的性質(zhì)可求答案；

（3）作DF⊥AC，證得△DFC ∽△BAC，利用對(duì)應(yīng)邊成比例求得DF，再根據(jù)（2）的結(jié)論結(jié)合三角形面積公式即可求得答案．

（1）∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC

∴∠B=∠C＝45°

∵∠CDA=∠BAD+∠B=∠CDE+∠ADE，∠ADE=∠B=45°，

∴∠BAD=∠CDE，

∴△ABD ∽△DCE；

（2）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，

∴BC＝，，

∵△ABD ∽△DCE，BD＝x，

∴，即，

，

；

（3）∵BD，AB＝AC＝1，BC＝，CD，

由(2)得，

過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F，如圖，

∠DFC＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴DF∥AB，

∴△DFC ∽△BAC，

∴，

∴，

∴．