Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y= x2+2x與x軸相交于O、B，頂點(diǎn)為A，連接OA．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)和∠AOB的度數(shù)；
（2）若將拋物線y= x2+2x向右平移4個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到拋物線m，其頂點(diǎn)為點(diǎn)C．連接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四邊形ACOC′．試判斷其形狀，并說明理由；
（3）在（2）的情況下，判斷點(diǎn)C′是否在拋物線y= x2+2x上，請(qǐng)說明理由．
（4）若點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試探究在拋物線m上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)O、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，且OC為該四邊形的一條邊？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． （參考公式：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ），對(duì)稱軸是直線x= ．）

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵由y= x2+2x得，y= （x+2）2﹣2，

∴拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），

令 x2+2x=0，解得x1=0，x2=﹣4，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，0），

過點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為D，

∴∠ADO=90°，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，0），

∴OD=AD=2，

∴∠AOB=45°；

（2）

解：四邊形ACOC′為菱形．

由題意可知拋物線m的二次項(xiàng)系數(shù)為 ，且過頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，﹣4），

∴拋物線的解析式為：y= （x﹣2）2﹣4，即y= x2﹣2x﹣2，

過點(diǎn)C作CE⊥x軸，垂足為E；過點(diǎn)A作AF⊥CE，垂足為F，與y軸交與點(diǎn)H，

∴OE=2，CE=4，AF=4，CF=CE﹣EF=2，

∴OC= =2 ，

同理，AC=2 ，OC=AC，

由翻折不變性的性質(zhì)可知，OC=AC=OC′=AC′，

故四邊形ACOC′為菱形．

（3）

解：如圖1，點(diǎn)C′不在拋物線y= x2+2x上．

理由如下：

過點(diǎn)C′作C′G⊥x軸，垂足為G，

∵OC和OC′關(guān)于OA對(duì)稱，∠AOB=∠AOH=45°，

∴∠COH=∠C′OG，

∵CE∥OH，

∴∠OCE=∠C′OG，

又∵∠CEO=∠C′GO=90°，OC=OC′，

∴△CEO≌△C′GO，

∴OG=CE=4，C′G=OE=2，

∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（﹣4，2），

把x=﹣4代入拋物線y= x2+2x得y=0，

∴點(diǎn)C′不在拋物線y= x2+2x上；

（4）

解：

存在符合條件的點(diǎn)Q．

∵點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線m上，

∴設(shè)Q（a， （a﹣2）2﹣4），

∵OC為該四邊形的一條邊，

∴OP為對(duì)角線，

∴ =0，解得a1=6，a2=﹣2（舍去），

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（6，4）．

【解析】（1）由y= x2+2x得，y= （x+2）2﹣2，故可得出拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，令 x2+2x=0得出點(diǎn)B的坐標(biāo)過點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為D，由∠ADO=90°可知點(diǎn)D的坐標(biāo)，故可得出OD=AD，由此即可得出結(jié)論；（2）由題意可知拋物線m的二次項(xiàng)系數(shù)為 ，由此可得拋物線m的解析式過點(diǎn)C作CE⊥x軸，垂足為E；過點(diǎn)A作AF⊥CE，垂足為F，與y軸交與點(diǎn)H，根據(jù)勾股定理可求出OC的長，同理可得AC的長，OC=AC，由翻折不變性的性質(zhì)可知，OC=AC=OC′=AC′，由此即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)C′作C′G⊥x軸，垂足為G，由于OC和OC′關(guān)于OA對(duì)稱，∠AOB=∠AOH=45°，故可得出∠COH=∠C′OG，再根據(jù)CE∥OH可知∠OCE=∠C′OG，根據(jù)全等三角形的判定定理可知△CEO≌△C′GO，故可得出點(diǎn)C′的坐標(biāo)把x=﹣4代入拋物線y= x2+2x進(jìn)行檢驗(yàn)即可得出結(jié)論；（4）由于點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線m上，故設(shè)Q（a， （a﹣2）2﹣4），由于OC為該四邊形的一條邊，故OP為對(duì)角線，由于點(diǎn)P在x軸上，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)的定義即可得出a的值，故可得出結(jié)論．