Question

【題目】定義：在三角形中，把一邊的中點(diǎn)到這條邊的高線的距離叫做這條邊的中垂距．

例：如圖①，在△ABC中，D為邊BC的中點(diǎn)，AE⊥BC于E，則線段DE的長(zhǎng)叫做邊BC的中垂距．

（1）設(shè)三角形一邊的中垂距為d（d≥0）．若d=0，則這樣的三角形一定是________，推斷的數(shù)學(xué)依據(jù)是________．

（2）如圖②，在△ABC中，∠B=45°，AB=，BC=8，AD為邊BC的中線，求邊BC的中垂距．

（3）如圖③，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4．點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，連結(jié)AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)AC．求△ACF中邊AF的中垂距．

Answer 1

【答案】（1）等腰三角形；線段的垂直平分線上的點(diǎn)到兩端的距離相等；（2）1；（3）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)即可判斷。

（2）如圖②中，作AE⊥BC于E．根據(jù)已知得出AE=BE，再求出BD的長(zhǎng)，即可求出DE的長(zhǎng)。

（3）如圖③中，作CH⊥AF于H，先證△ADE≌△FCE，得出AE=EF，利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)，然后證明△ADE∽△CHE，建立方程求出EH即可。

解：（1）等腰三角形；線段的垂直平分線上的點(diǎn)到兩端的距離相等

（2）解：如圖②中，作AE⊥BC于E．

在Rt△ABE中，∵∠AEB=90°，∠B=45°，AB=3 ，

∴AE=BE=3，

∵AD為BC邊中線，BC=8，

∴BD=DC=4，

∴DE=BD﹣BE=4﹣3=1，

∴邊BC的中垂距為1

（3）解：如圖③中，作CH⊥AF于H．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D=∠EHC=∠ECF=90°，AD∥BF，

∵DE=EC，∠AED=∠CEF，

∴△ADE≌△FCE，

∴AE=EF，

在Rt△ADE中，∵AD=4，DE=3，

∴AE= =5，

∵∠D=EHC，∠AED=∠CEH，

∴△ADE∽△CHE，

∴ = ，

∴ = ，

∴EH= ，

∴△ACF中邊AF的中垂距為