Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，AB＝2，P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)A重合，過點(diǎn)P作PE⊥AB交AD于點(diǎn)E，將∠A沿PE折疊，點(diǎn)A落在直線AB上點(diǎn)F處，連接DF、CF，當(dāng)△CDF為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)是_____．

Answer 1

【答案】或1或1+或

【解析】

如圖1，當(dāng)DF＝CD時(shí)，有一個(gè)解，如圖2，當(dāng)CF＝CD＝2時(shí)，有兩個(gè)解，如圖3中，當(dāng)FD＝FC時(shí)有一個(gè)解，根據(jù)折疊變換的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)分別求出即可．

解：如圖1，當(dāng)DF＝CD時(shí)，點(diǎn)F與A重合或在點(diǎn)F′處．

∵在菱形ABCD中，AB＝2，

∴CD＝AD＝2，

作DN⊥AB于N，

由折疊的性質(zhì)得：此時(shí)點(diǎn)P與N重合，

在Rt△ADN中，∵AD＝2，∠DAN＝45°，DN＝AN＝NF′＝，

∴AP＝；

如圖2，當(dāng)CF＝CD＝2時(shí)，點(diǎn)F與B重合或在F′處，

∵點(diǎn)F與B重合，

∴PE是AB的垂直平分線，

∴AP＝AB＝1；

點(diǎn)F落在F'處時(shí)，AF'＝2+2，

∴AP＝AF'＝1+；

如圖3中，當(dāng)FD＝FC時(shí)，

AF＝+1，

∴AP＝AF＝．

綜上所述：當(dāng)△CDF為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為或1或1+或.

故答案為：或1或1+或