Question

如圖所示，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-1，2），且與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為別為x₁，x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1．下列結(jié)論：
①2a-b＜0；②a＜

b+c

2

；③a＜-1；④b²+8a＞4ac．
其中正確的有（　　）

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．

解答：解：①由圖示知，∵拋物線開口方向向下，∴a＜0，
又∵對(duì)稱軸x=-

b

2a

＞-1．
∴b＞2a，
∴2a-b＜0．
故①正確；

②由①知，2a＜b．
∵由圖知，拋物線與y軸交于正半軸，則c＞0，
∴2a＜b+c，
∴a＜

b+c

2

．
故②正確；

③由圖知，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-1，2），則a-b+c=2，（1）
由已知得，0＜x₂＜1．當(dāng)x=1時(shí)，y＜0，即a+b+c＜0，（2）
由已知得，-2＜x₁＜-1．當(dāng)x=-2時(shí)，y＜0，即4a-2b+c＜0．（3）
聯(lián)立（1）、（2）得到 a+c＜1．（4）
聯(lián)立（1）、（3）得到2a-c＜-4，（5）
聯(lián)立（4）、（5）得到3a＜-3，
則a＜-1．
故③正確；

④如圖所示，∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-1，2），且點(diǎn)（-1，2）不是頂點(diǎn)，
∴

4ac-b2

4a

＞2，
∵a＜0，
∴4ac-b²＜8a．
∴b²+8a＞4ac．
故④正確．
綜上所述，正確的結(jié)論有4個(gè)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對(duì)稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用．