Question

已知Rt△ABC，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=8cm，將Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°．后得到Rt△ADE（如圖1）．
（Ⅰ）將Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到Rt△AB₁C₁．AC₁交DE于點(diǎn)F，當(dāng)△AEF為等腰三角形時(shí)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為

 

；
（Ⅱ）將Rt△DAE沿AB方向平移，得到Rt△D₂A₂E₂（如圖3），E₂D₂交AC于點(diǎn)P．A₂D₂交BC于點(diǎn)N，當(dāng)NP∥AB時(shí)，平移距離為

 

cm．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),平移的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（Ⅰ）由于Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到Rt△ADE，如圖1，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠E=∠C=30°，∠CAE=90°，∠DAE=∠BAC=90°，再由△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB₁C₁，如圖2，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CAC₁等于旋轉(zhuǎn)角，然后分類討論：當(dāng)FA=FE時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠EAF=∠E=30°，則利用互余可計(jì)算出∠CAC₁=60°；當(dāng)EA=EF時(shí)，則∠EAF=∠EFA，利用三角形內(nèi)角和可計(jì)算出∠EAF=

1

2

（180°-∠E）=75°，則∠CAC₁=90°-∠EARF=15°，于是得到旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為15°或60°；
（Ⅱ）如圖3，在Rt∠BAC中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得AB=

1

2

BC=4cm，AC=

3

AB=4

3

cm，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE=AC=4

3

cm，接著根據(jù)平移的性質(zhì)得A₂E₂=AE=4

3

cm，∠D₂A₂E₂=∠DAE=90°，∠A₂E₂D₂=∠E=30°，然后證明四邊形AA₂NP為矩形得到NA₂=PA，設(shè)AA₂=x，則A₂B=AB-AA₂=4-x，AE₂=A₂E₂-AA₂=4

3

-x，在Rt△A₂BN中計(jì)算出NA₂=

3

A₂B=

3

（4-x），在Rt△AE₂P中計(jì)算出PA=

3

3

AE₂=

3

3

（4

3

-x），則

3

（4-x）=

3

3

（4

3

-x），解得x=6-2

3

，于是得到Rt△DAE沿AB方向平移，平移距離為（6-2

3

）cm．

解答：解：（Ⅰ）∵Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到Rt△ADE，如圖1，
∴∠E=∠C=30°，∠CAE=90°，∠DAE=∠BAC=90°，
∴點(diǎn)D在AC上，
∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB₁C₁，如圖2，
∴∠CAC₁等于旋轉(zhuǎn)角，
當(dāng)FA=FE時(shí)，則∠EAF=∠E=30°，
∴∠CAC₁=90°-∠EAF=60°；
當(dāng)EA=EF時(shí)，則∠EAF=∠EFA，
∵∠E=30°，
∴∠EAF=

1

2

（180°-30°）=75°，
∴∠CAC₁=90°-∠EARF=15°，
∴旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為15°或60°；
（Ⅱ）如圖3，
∵∠BAC=90°，∠C=30°，BC=8cm，
∴AB=

1

2

BC=4cm，AC=

3

AB=4

3

cm，
∵Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°．后得到Rt△ADE，
∴AE=AC=4

3

cm，
∵Rt△DAE沿AB方向平移，得到Rt△D₂A₂E₂，
∴A₂E₂=AE=4

3

cm，∠D₂A₂E₂=∠DAE=90°，∠A₂E₂D₂=∠E=30°，
∵PN∥AB，
∴四邊形AA₂NP為矩形，
∴NA₂=PA，
設(shè)AA₂=x，則A₂B=AB-AA₂=4-x，AE₂=A₂E₂-AA₂=4

3

-x，
在Rt△A₂BN中，∵∠B=60°，
∴NA₂=

3

A₂B=

3

（4-x），
在Rt△AE₂P中，∵∠AE₂P=30°，
∴PA=

3

3

AE₂=

3

3

（4

3

-x），
∴

3

（4-x）=

3

3

（4

3

-x），解得x=6-2

3

，
∴Rt△DAE沿AB方向平移，平移距離為（6-2

3

）cm．
故答案為：15°或60°；（6-2

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了平移的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形．