Question

【題目】已知有公共頂點的△和△都是等邊三角形，且＞.

(1)如圖1，當點恰好在的延長線上時，連結，分別交，于點，．

①求證：；

②連接，求證：∥；

(2)圖2是由圖1中的△繞點順時針旋轉角(＜＜)得到，使得恰好經過的中點，試猜想線段，，之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析；(2)猜想：BC2+BD2=AB2，理由見解析.

【解析】

(1)①先由等邊三角形得出CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE =60°，從而判斷出∠ACE=∠DCB，得到△ACE≌△DCB，根據全等三角形的對應邊相等即可得證；

②由∠ACD=∠BCE =60°可得∠MCN =60°，由△ACE≌△DCB可得∠CAE=∠CDB，然后根據ASA證明△ACM≌△DCN，從而得CM=CN，繼而得到△MCN是等邊三角形，進而根據平行線的判定即可得證；

(2)猜想：BC2+BD2=AB2，理由為：如圖，連接AE，仿照(1)①證明△ACE≌△DCB，從而可得 AE=BD，∠AEC=∠DBC，再根據等邊三角形的性質可得∠CBF=30°，繼而可得∠AEB=∠AEC+∠BEC=90°，利用勾股定理可得AE2+BE2=AB2，等量代換即可得BC2+BD2=AB2.

(1)①∵△ACD，△BCE都是等邊三角形，

∴∠DCA=∠BCE=60°，CA=CD，CB=CE，

∵∠ACE=∠ACD+∠MCN，∠DCB=∠MCN+∠BCE，

∴∠ACE=∠DCB，

∴△ACE≌△DCB(SAS)，

∴AE=BD；

②∵A、C、B共線，∠ACD=∠BCE =60°，

∴∠MCN=180°-∠ACD-∠BCE=60°，

∴∠ACM=∠DCN，

∵△ACE≌△DCB，

∴∠CAM=∠CDN，

又∵CA=CD，

∴△ACM≌△DCN，

∴CM=CN，

又∵∠MCN=60°，

∴△MCN是等邊三角形，

∴∠MNC=60°，

又∵∠BCE=60°，

∴∠MNC=∠BCE，

∴MN//AB；

(2)猜想：BC2+BD2=AB2，理由如下：

如圖，連接AE，

∵△ACD，△BCE都是等邊三角形，

∴∠DCA=∠BCE=∠BEC=∠CBE=60°，CA=CD，CB=CE=BE，

∵∠ACE=∠ACD+∠MCN，∠DCB=∠MCN+∠BCE，

∴∠ACE=∠DCB，

∴△ACE≌△DCB(SAS)，

∴AE=BD，∠AEC=∠DBC，

又∵F為BC中點，

∴∠CBF=∠CBE=30°，

∴∠AEC=30°，

∴∠AEB=∠AEC+∠BEC=90°，

∴AE2+BE2=AB2，

∴BC2+BD2=AB2.