Question

如圖，已知點E在△ABC的邊AB上，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點D，且D在以AE為直徑的⊙O上．
（1）證明：BC是⊙O的切線；
（2）若DC=4，AC=6，求圓心O到AD的距離；
（3）若tan∠DAC=

2

3

，求

BE

BD

的值．

Answer 1

考點：切線的判定,勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OD，根據(jù)AD平分∠BAC，∠BAD=∠DAC，由OA=OD，得∠BAD=∠ODA，可證明AC∥OD，則∠ODC=90°，即BC是⊙O的切線；
（2）在Rt△ADC中，∠ACD=90°，由勾股定理，得AD的長，作OF⊥AD于F，根據(jù)垂徑定理得AF，可證△AOF∽△ADC，則

OF

DC

=

AF

AC

，從而得出OF的長；
（3）連接ED，由AD平分，得∠BAD=∠DAC，在Rt△AED中，由tan∠EAD=

ED

AD

=tan∠DAC=

2

3

，證明△BED∽△BDA，得

BE

BD

=

DE

AD

=

2

3

．

解答：解：（1）連接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠DAC，
∴AC∥OD，
∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
即BC是⊙O的切線．
（2）在Rt△ADC中，∠ACD=90°，由勾股定理，
得：AD=

AC2+DC2

=

62+42

=2

13

，
作OF⊥AD于F，根據(jù)垂徑定理得AF=

1

2

AD=

13

可證△AOF∽△ADC
∴

OF

DC

=

AF

AC

∴

OF

4

=

13

6

∴OF=

2

3

13

；
（3）連接ED，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AE為直徑，
∴∠ADE=90°，
∴在Rt△AED中，tan∠EAD=

ED

AD

=tan∠DAC=

2

3

，
∵∠AED=90°，
∴∠EDB+∠ADC=90°，
∵∠DAC+∠ADC=90°，
∴∠EDB=∠DAC=∠EAD，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BDA，
∴

BE

BD

=

DE

AD

=

2

3

．

點評：本題考查了切線的判定、勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)，是中考常見題型，要熟練掌握．