Question

已知，如圖，以O(shè)為圓心，OA為半徑畫弧，∠AOB=120°，弓形高ND=4厘米，矩形EFGH的兩頂點E，F(xiàn)在弦AB上，H，G在

AB

上，且EF=4HE，求HE的長．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理,矩形的性質(zhì)

專題：計算題

分析：連結(jié)OH，設(shè)⊙O的半徑為R，則OA=R，ON=OD-DN=R-4，易得∠OAB=30°，則在Rt△AON中有OA=2ON，即R=2（R-4），解得R=8，根據(jù)垂徑定理由OD⊥EF得EN=FN，而EF=4HE，所以EN=2HE，設(shè)HE=a，則EN=HM=2a，MN=a，OM=ON+MN=4+a，在Rt△OHM中，根據(jù)勾股定理得到4a²+（4+a）²=8²，可解得a₁=

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，a₂=-4（舍去），于是得到HE的長為

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．

解答：解：連結(jié)OH，如圖，
設(shè)⊙O的半徑為R，則OA=R，ON=OD-DN=R-4，
∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴∠OAB=30°，
在Rt△AON中，OA=2ON，
∴R=2（R-4），解得R=8，
∵OD⊥EF，
∴EN=FN，
∵EF=4HE，
∴EN=2HE，
設(shè)HE=a，則EN=HM=2a，MN=a，
∴OM=ON+MN=4+a，
在Rt△OHM中，∵HM²+OM²=OH²，
∴4a²+（4+a）²=8²，
整理得5a²+8a-48=0，解得a₁=

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，a₂=-4（舍去），
∴HE的長為

12

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．

點評：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條�。�也考查了勾股定理和矩形的性質(zhì)．