Question

已知：如圖，在△ABC中，BC＝AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E.

(1)求證：點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)；
(2)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(3)若⊙O的直徑為18，cosB＝，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）AD＝BD , 即點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)（2）DE⊥DO，OD是⊙O的半徑得DE是⊙O的切線
（3）4

試題分析：(1)證明：如圖，連接CD，則CD⊥AB，又∵AC＝BC，∴AD＝BD , 即點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．

(2)解：DE是⊙O的切線．
理由是：連接OD，則DO是△ABC的中位線，∴DO∥AC.
又∵DE⊥AC，∴DE⊥DO，又∵OD是⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線．
(3)  ∵AC＝BC，∴∠B＝∠A，∴cos∠B＝cos∠A＝.
∵cos∠B＝＝，BC＝18，∴BD＝6，∴AD＝6.
∵cos∠A＝＝，  ∴AE＝2.
在Rt△AED中，DE＝＝4
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，掌握判定直線與圓的位置關(guān)系是解本題的關(guān)鍵，此類(lèi)題屬常考題型