Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，D是的中點，BC與AD，OD分別交于點E，F．

（1）求證：OD∥AC；

（2）求證：DC2＝DEDA；

（3）若⊙O的直徑AB＝10，AC＝6，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）4

【解析】

（1）由D是的中點，推出∠CAB=2∠BAD，再根據(jù)∠BOD=2∠BAD得∠CAB=∠BOD，故AC∥OD；
（2）證明△DCE∽△DCA，即可求解；
（3）根據(jù)△BOF∽△BAC，列出＝，求出BF=4．

（1）因為點D是弧BC的中點，

所以∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，

而∠BOD＝2∠BAD，

所以∠CAB＝∠BOD，

所以DO∥AC；

（2）∵D是的中點，

∴∠CAD＝∠DCB，

∴△DCE∽△DAC，

∴CD2＝DEDA；

（3）∵AB為⊙O的直徑

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ACB中，BC＝.＝8，

∵OD∥AC，

∴△BOF∽△BAC，

∴，

即＝，

∴BF＝4．

即BF的長為4．