Question

【題目】如圖（1），在邊長(zhǎng)為4的正方形中，在AO的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)B，使OB=2OA，連接BC．

（1）點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連結(jié)，求線段的長(zhǎng)；

（2）點(diǎn)M在線段BC上，且到OB，OC的距離分別為，，當(dāng)時(shí)， 求，的值；

（3）如圖（2），在第（1）、（2）問條件下，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)N，動(dòng)點(diǎn)在上從點(diǎn)向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，沿直線向終點(diǎn)M勻速運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)出發(fā)且同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合．

①在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程為s，，用含t的代數(shù)式表示s．

②過點(diǎn)O作于點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)路程中，當(dāng)與的一邊平行時(shí)，求所有滿足條件的的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2），，（3）①，②或.

【解析】

（1）先根據(jù)勾股定理求得BC的長(zhǎng)，再利用直角三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果；

（2）過點(diǎn)M作MG⊥OB，MH⊥OC，則易證△BMG∽△BCO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)并結(jié)合已知即可求出m、n的值；

（3）①由題意知：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，所以當(dāng)點(diǎn)從中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)恰好與從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M，據(jù)此列出比例式即可得出s與t的關(guān)系式；

②先確定點(diǎn)Q的出發(fā)點(diǎn)K的位置，進(jìn)而可求出，再建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，顯然在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，PQ與DE始終不平行；當(dāng)PQ∥OF時(shí)，利用坐標(biāo)系中兩條直線垂直時(shí)滿足，可求出用含t的參數(shù)表示的直線PQ的解析式，再與直線BC聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后利用銳角三角函數(shù)的知識(shí)求出QN值，即得QK的長(zhǎng)，再利用①的結(jié)論即得關(guān)于t的方程，解方程即可求得t的值；當(dāng)PQ∥OE時(shí)，如圖2，利用坐標(biāo)系中兩直線平行，同上面的思路求解即可.

解：（1）∵四邊形是正方形，∴OC=AO=4，∠COA=90°，∴∠COB=90°，

∵OB=2OA，∴OB=8，∴，

∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴；

（2）如圖（1），過點(diǎn)M作MG⊥OB，MH⊥OC，則MG=m，MH=n=OG，MG∥OC，

∴△BMG∽△BCO，∴，即，

當(dāng)，即n=6m時(shí)，，解得：m=1，∴n=6；

∴，，

（3）①由題意知：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，所以當(dāng)點(diǎn)從中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)恰好與從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M.

如圖（1），∵CH=3，HM=6，∴，

于是有：，∴；

②在BC延長(zhǎng)線上取點(diǎn)K，使CK=CM=，∵，∴，由題意可知：點(diǎn)Q的出發(fā)點(diǎn)就是點(diǎn)K.

建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，

則當(dāng)PQ∥OF時(shí)，PQ⊥DE，

∵D（0，4）、E（8，2），∴直線DE的解析式為：，所以設(shè)，將點(diǎn)P（t，0）代入得：，∴，

∵C（4，4）、B（12，0），∴直線BD的解析式為：，

聯(lián)立方程組：，解得，

∴點(diǎn)Q（，），

過點(diǎn)Q作QR⊥y軸于點(diǎn)R，則，

在直角△QRN中，，

∴，

由①知，，∴=，解得：；

當(dāng)PQ∥OE時(shí)，如圖2，

∵O（4，0）、E（8，2），∴直線OE的解析式為：，

∴設(shè)直線PQ的解析式為：，把P（t，0）代入得：，

∴，

聯(lián)立方程組：，解得：，∴Q（，），

過點(diǎn)Q作QR⊥y軸于點(diǎn)R，則，

在直角△QRN中，，

∴，

由①知，，∴=，解得：；

顯然在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，PQ與DE始終不平行；

綜上，當(dāng)與的一邊平行時(shí)，或.