Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（5，4），⊙M與y軸相切于點(diǎn)C，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)．

（1）請(qǐng)直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出過這三點(diǎn)的拋物線解析式；

（2）設(shè)（1）中拋物線解析式的頂點(diǎn)為E，

求證：直線EA與⊙M相切；

（3）在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，且點(diǎn)P在x軸的上方，使△PBC是等腰三角形？

如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】（1）連接AM，MC，設(shè)ME交x軸于點(diǎn)D，由M點(diǎn)的坐標(biāo)可求得MC、MD的長(zhǎng)，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，在Rt△ADM中可求得AD，則容易求得A、B坐標(biāo)；

（2）由A點(diǎn)坐標(biāo)可求得拋物線解析式，則可求得ME的長(zhǎng)，由勾股定理的逆定理可判定△AME為直角三角形，則可證得結(jié)論；

（3）可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（5，t），則可表示出PB、CP、結(jié)合BC的長(zhǎng)，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)，則有PB=BC，CP=BC，PC=PB三種情況，分別求解即可；

（1）A，B，C的坐標(biāo)分別是A（2　，0　），B（8　，0　），C（0　，4　）；---3分

設(shè)拋物線解析式為，將（0,4）代入得即∴.

（2）證明：把化為y=（x﹣5）2，

∴E（5，﹣），

∴DE=，

∴ME=MD+DE=4+=，EA2=32+（）2=，

∵MA2+EA2=52+=，ME2=，

∴MA2+EA2=ME2，

∴∠MAE=90°，

即EA⊥MA，

∴EA與⊙M相切；

（3）解：存在；點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，4），或（5，），或（5，4+）；理由如下：

由勾股定理得：BC===4，

分三種情況：

①當(dāng)PB=PC時(shí)，點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，點(diǎn)P與M重合，

∴P（5，4）；

②當(dāng)BP=BC=4時(shí)，如圖2所示：

∵PD===，

∴P（5，）；

③當(dāng)PC=BC=4時(shí)，連接MC，如圖3所示：

則∠PMC=90°，

根據(jù)勾股定理得：PM===，

∴PD=4+，

∴P（5，4+）；

綜上所述：存在點(diǎn)P，且點(diǎn)P在x軸的上方，使△PBC是等腰三角形，

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，4），或（5，），或（5，4+）．