Question

如圖1，△ABC是等邊三角形，D點是AC的中點，點E在BC的延長線上，且BD=DE．
（1）求證：AD=CE；
（2）若點D不是AC的中點，其他條件不變，如圖2，（1）中的結論是否依然成立？若成立請給予證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰三角形的判定與性質,等邊三角形的性質

專題：

分析：（1）求出∠E=∠CDE，推出CD=CE，根據等腰三角形性質求出AD=DC，即可得出答案；
（2）過D作DF∥BC，交AB于F，證△BFD≌△DCE，推出DF=CE，證△ADF是等邊三角形，推出AD=DF，即可得出答案．

解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，
∵D為AC中點，
∴∠DBC=30°，AD=DC，
∵BD=DE，
∴∠E=∠DBC=30°
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠CDE=30°=∠E，
∴CD=CE，
∵AD=DC，
∴AD=CE；

（2）成立，
證明：過D作DF∥BC，交AB于F，
則∠ADF=∠ACB=60°，
∵∠A=60°，
∴△AFD是等邊三角形，
∴AD=DF=AF，∠AFD=60°，
∴∠BFD=∠DCE=180°-60°=120°，
∵DF∥BC，
∴∠FDB=∠DBE=∠E，
在△BFD和△DCE中

∠FDB=∠E ∠BFD=∠DCE BD=DE

∴△BFD≌△DCE，
∴CE=DF=AD，
即AD=CE．

點評：本題考查了全等三角形性質和判定，等邊三角形性質的應用，題目比較典型，是一道比較好的題目．