【題目】在圖中,正方形AOBD的邊AO,BO在坐標軸上,若它的面積為16,點M從O點以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向運動,當M到達B點時,運動停止.連接AM,過M作AM⊥MF,且滿足AM=MF,連接AF交BD于E點,過F作FN⊥x軸于N,連接ME.設(shè)點M運動時間為t(s).

(1)直接寫出點D和M的坐標(可用含t式子表示);
(2)當△MNF面積為 時,求t的值;
(3)△AME能否為等腰三角形?若不能請說明理由;若能,求出t的值.

【答案】
(1)

解:∵正方形AOBD的面積為為16,

∴正方形的邊長為4,即OB=BD=4.

∴D(4,4).

∵OM=t,點M在x軸上,

∴M(t,0)


(2)

解:∵AM⊥MF,

∴∠AMF=90°.

∴∠AMO+∠FMN=90°.

又∵∠OAM+∠AMO=90°,

∴∠OAM=∠FMN.

在△AMO于△MFN中,

∴△AMO≌△MFN(AAS).

∴OM=FN,OA=MN.

AOOM= MNFN= ×4×t= ,解得:t=


(3)

解:①∵△AMF為等腰直角三角形,

∴MF=AM≠ME.

∴AM=EM這種情況不成立.

②當AE=ME時.

∵△AMF為等腰直角三角形,

∴∠MAE=45°.

∵AE=ME,

∴∠MAE=∠AME=45°.

∴∠AEM=90°.

∴∠AED+∠MEB=90°.

又∵∠AED+∠EAD=90°,

∴∠MEB=∠EAD.

在△MEB和△EDA中 ,

∴△MEB≌△EAD(AAS).

∴BE=AD.

∴點B與點D重合,點M與點B重合.

∴t=4.

③當AM=AE時,如圖所示:連接AB交ME于點H.

∵在Rt△AOM和Rt△ADE中, ,

∴Rt△AOM≌△Rt△ADE.

∴DE=OM=t,∠MAO=∠DAE=22.5°.

∵四邊形AOBD為正方形,

∴∠BAO=∠DAB=45°.

∴∠MAH=∠EAH=22.5°.

∴∠MAH=∠EAH=∠OAM=∠DAE=22.5°.

∴AH⊥ME.

∴MO=MH=t,HE=DE=t.

∴ME=MH+HE=2t.

∵MB=BE=4﹣t,由勾股定理得:ME2=MB2+BE2,即2(4﹣t)2=4t2

解得:t=4 ﹣4,t=﹣4﹣4 (舍去).

綜上所述,當t=4或y=4 ﹣4時,△AME為等腰三角形.


【解析】(1)由正方形的面積可求得正方形的邊長,從而可得到點D的坐標,由題意可知OM=t,且M在x軸上,故此可得到點M的坐標;(2)先依據(jù)AAS證明△AMO≌△MFN,從而得到OM=FN,OA=MN,接下來由三角形的面積公式可求得OM的長,從而得到t得值;(3)可分為AM=EM、AE=ME、AM=AE三種情況.其中AM=EM的情況不成立;當AE=ME時,可依據(jù)AAS證明△MEB≌△EAD,從而得到BE=AD,于是可得到M與點B重合從而求得t的值;當AM=AE時,可證明MO=MH=HE=DE,從而可求得ME=2t,MB=4﹣t,然后在△MBE中依據(jù)勾股定理列出關(guān)于t的方程,從而可取得t的值.
【考點精析】通過靈活運用全等三角形的性質(zhì),掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等; 全等三角形的對應(yīng)角相等即可以解答此題.

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