Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)過(guò)A（，0），B（，0），C（0，2）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線AC下方的拋物線上有一點(diǎn)D，使得△DCA的面積最大，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，試判斷拋物線上是否存在點(diǎn)H滿足？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D（-1，-1）；（3）（，）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線的解析式；

（2）根據(jù)圖形的割補(bǔ)法，可得面積的和差，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；

（3）根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠AMN=∠NKM，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得，根據(jù)解方程組，可得H點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）設(shè)拋物線的解析式為，將A（﹣2，0），B（，0）代入解析式，得：，解得：．∴拋物線的解析式是；

（2）由題意可求得AC的解析式為，如圖1，設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，），過(guò)D作DE⊥x軸交AC于E點(diǎn)，∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，t+2），DE=，用h表示點(diǎn)C到線段DE所在直線的距離，

=，∵﹣2＜t＜0，

∴當(dāng)t=﹣1時(shí)，△DCA的面積最大，此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）；

（3）存在點(diǎn)H滿足∠AMH=90°，由（1）知M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），如圖2：作MH⊥AM交x軸于點(diǎn)K（x，0），作MN⊥x軸于點(diǎn)N，∵∠AMN+∠KMA=90°，∠NKM+∠KMN=90°，∴∠AMN=∠NKM．∵∠ANM=∠MNK，∴△AMN∽△MKN，∴，∴=ANNK，∴，解得，∴K點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），∴直線MK的解析式為，∴，把①代入②，化簡(jiǎn)得．△=﹣4×48×55=64×4=256＞0，∴，，將代入，解得，∴直線MN與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)M、H，∴拋物線上存在點(diǎn)H，滿足∠AMH=90°，此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（，）．