Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，D為AB的中點，∠EDF=90°，DE交AC于點G，DF經過點C．

（1）求∠ADE的度數；

（2）如圖2，將圖1中的∠EDF繞點D順時針方向旋轉角（），旋轉過程中的任意兩個位置分別記為∠E1DF1，∠E2DF2 ， DE1交直線AC于點P，DF1交直線BC于點Q，DE2交直線AC于點M，DF2交直線BC于點N，求的值；

（3）若圖1中∠B=，（2）中的其余條件不變，判斷的值是否為定值，如果是，請直接寫出這個值（用含的式子表示）；如果不是，請說明理由．

Answer 1

（1）30°；（2）；（3）是定值，值為．

【解析】

試題分析：（1）由D為AB的中點，得到CD=DB，∠DCB=∠B，進一步得到∠DCB=∠B=∠CDB=60°，可以求得∠ADE=30°；

（2）先證△PMD∽△QND，過點D分別做DG⊥AC于G， DH⊥BC于H，可得，再證四邊形CGDH 為矩形，得到CG=DH=AG，故有，即；

（3）是定值，值為．

試題解析：（1）∵∠ACB=90°，D為AB的中點，∴CD=DB，∴∠DCB=∠B，∵∠B=60°，∴∠DCB=∠B=∠CDB=60°，∴∠CDA=120°，∵∠EDC=90°，∴∠ADE=30°；

（2）∵∠C=90°，∠MDN=90°，∴∠DMC+∠CND=180°，∵∠DMC+∠PMD=180°，∴∠CND=∠PMD，同理∠CPD=∠DQN，∴△PMD∽△QND，過點D分別做DG⊥AC于G， DH⊥BC于H，可知DG， DH分別為△PMD和△QND的高，∴，∵DG⊥AC于G， DH⊥BC于H，∴DG ∥BC，∵D為AC中點，∴G為AC中點，∵∠C=90°，∴四邊形CGDH 為矩形有CG=DH=AG，Rt△AGD中，，即；

（3）是定值，值為．

考點：相似三角形綜合題．