Question

【題目】（概念認(rèn)知）：

城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy，對(duì)兩點(diǎn)A(，)和B(，)，用以下方式定義兩點(diǎn)間距離：d(A，B)＝＋．

（數(shù)學(xué)理解）：

（1）①已知點(diǎn)A(﹣2，1)，則d(O，A)＝ ；②函數(shù)(0≤x≤2)的圖像如圖①所示，B是圖像上一點(diǎn)，d(O，B)＝3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是 ．

（2）函數(shù)(x＞0)的圖像如圖②所示，求證：該函數(shù)的圖像上不存在點(diǎn)C，使d(O，C)＝3．

（3）函數(shù)(x≥0)的圖像如圖③所示，D是圖像上一點(diǎn)，求d(O，D)的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（問(wèn)題解決）：

（4）某市要修建一條通往景觀湖的道路，如圖④，道路以M為起點(diǎn)，先沿MN方向到某處，再在該處拐一次直角彎沿直線到湖邊，如何修建能使道路最短？（要求：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，畫(huà)出示意圖并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由）

Answer 1

【答案】（1）【數(shù)學(xué)理解】：① 3， ② (1，2) ；（2）見(jiàn)解析；（3）有最小值3，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，1）；【問(wèn)題解決】：（4）先沿方向修建到處，再沿方向修建到處，見(jiàn)解析.

【解析】

（1）①根據(jù)定義可求出d（O，A）＝|0＋2|＋|01|＝2＋1＝3；②由兩點(diǎn)間距離：d（A，B）＝|x1x2|＋|y1y2|及點(diǎn)B是函數(shù)y＝2x＋4的圖象上的一點(diǎn)，可得出方程組，解方程組即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）由條件知x＞0，根據(jù)題意得，整理得x23x＋4＝0，由△＜0可證得該函數(shù)的圖象上不存在點(diǎn)C，使d（O，C）＝3．

（3）根據(jù)條件可得|x|＋|x25x＋7|，去絕對(duì)值后由二次函數(shù)的性質(zhì)可求出最小值；

（4）以M為原點(diǎn)，MN所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，將函數(shù)y＝x的圖象沿y軸正方向平移，直到與景觀湖邊界所在曲線有交點(diǎn)時(shí)停止，設(shè)交點(diǎn)為E，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥MN，垂足為H，修建方案是：先沿MN方向修建到H處，再沿HE方向修建到E處，可由d（O，P）≥d（O，E）證明結(jié)論即可．

解：（1）①由題意得：d（O，A）＝|0＋2|＋|01|＝2＋1＝3；

②設(shè)B（x，y），由定義兩點(diǎn)間的距離可得：|0x|＋|0y|＝3，

∵0≤x≤2，

∴x＋y＝3，

∴，

解得： x＝1，y＝2，

∴B（1，2），

（2）假設(shè)函數(shù)的圖像上存在點(diǎn)，使.

根據(jù)題意，得.

因?yàn)?/span>，所以.

所以.

方程兩邊乘，得.

整理，得.

因?yàn)?/span>，

所以方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

所以函數(shù)的圖像上不存在點(diǎn)，使.

（3）設(shè).

根據(jù)題意，得.

因?yàn)?/span>，又，

所以.

所以當(dāng)時(shí)，有最小值3，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是.

（4）如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.將函數(shù)的圖像沿軸正方向平移.直到與景觀湖邊界所在曲線有交點(diǎn)時(shí)停止.設(shè)交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為.修建方案是：先沿方向修建到處，再沿方向修建到處.

理由：設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與軸相交于點(diǎn).在景觀湖邊界所在曲線上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線與軸相交于點(diǎn).因?yàn)?/span>，所以.同理.因?yàn)?/span>，所以.因此，上述方案修建的道路最短.