【題目】如圖,BD是正方形ABCD的對角線,BC=2,邊BC在其所在的直線上平移,將通過平移得到的線段記為PQ,連接PA、QD,并過點Q作QO⊥BD,垂足為O,連接OA、OP.
(1)請直接寫出線段BC在平移過程中,四邊形APQD是什么四邊形?
(2)請判斷OA、OP之間的數(shù)量關系和位置關系,并加以證明;
(3)在平移變換過程中,設y=S△OPB,BP=x(0≤x≤2),求y與x之間的函數(shù)關系式,并求出y的最大值.
【答案】(1)四邊形APQD為平行四邊形;(2)OA=OP,OA⊥OP;(3) 或,當x=2時,y有最大值為2.
【解析】
試題(1)根據(jù)平移的性質,可得PQ,根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,可得答案;
(2)根據(jù)正方形的性質,平移的性質,可得PQ與AB的關系,根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質,可得∠PQO,根據(jù)全等三角形的判定與性質,可得AO與OP的數(shù)量關系,根據(jù)余角的性質,可得AO與OP的位置關系;
(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質,可得OE的長,根據(jù)三角形的面積公式,可得二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質,可得到答案.
試題解析:
(1)四邊形APQD為平行四邊形.
(2)OA=OP,OA⊥OP.理由如下:
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=PQ,∠ABO=∠OBQ=45°.
∵OQ⊥BD,∴∠PQO=45°,
∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO,∴OB=OQ,
∴△AOB≌△OPQ(SAS).
∴OA=OP,∠AOB=∠POQ,
∴∠AOP=∠BOQ=90°,∴OA⊥OP.
(3)如解圖,過點O作OE⊥BC于點E.
①當點P在點B右側時,
BQ=x+2,OE=,
∴y=··x
=-.
又∵0≤x≤2,
∴當x=2時,y有最大值2.
②如解圖②,當點P在點B左側時,
BQ=2-x,OE=,
∴y=··x
=-+.
又∵0≤x≤2,
∴當x=1時,y有最大值.
綜上所述,y的最大值為2.
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【題目】完成下面的證明.
已知,如圖所示,BCE,AFE是直線,
AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4.
求證:AD∥BE
證明:∵ AB∥CD (已知)
∴ ∠4 =∠ ( )
∵ ∠3 =∠4 (已知)
∴ ∠3 =∠ ( )
∵∠1 =∠2 (已知)
∴∠1+∠CAF =∠2+ ∠CAF ( )
即:∠ =∠ .
∴ ∠3 =∠ ( )
∴ AD∥BE ( )
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【題目】已知一次函數(shù)的圖象與坐標軸交于A、B點(如圖),AE平分∠BAO,交x軸于點E.
(1)求點B的坐標;
(2)求直線AE的表達式;
(3)過點B作BF⊥AE,垂足為F,連接OF,試判斷△OFB的形狀,并求△OFB的面積.
(4)若將已知條件“AE平分∠BAO,交x軸于點E”改變?yōu)椤包cE是線段OB上的一個動點(點E不與點O、B重合)”,過點B作BF⊥AE,垂足為F.設OE=x,BF=y,試求y與x之間的函數(shù)關系式,并寫出函數(shù)的定義域.
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【題目】已知:直線MN,PQ被射線BA截于A,B兩點,且MN∥PQ,點D是直線MN上一定點,C是射線BA上一動點,連結CD,過點C作CE⊥CD交直線PQ于點E.
(1)若點C在線段AB上.
①依題意,補全圖形;
②請寫出∠ADC和∠CEB的數(shù)量關系,并證明.
(2)若點C在線段BA的延長線上,直接寫出∠ADC和∠CEB的數(shù)量關系,不必證明.
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【題目】(1)如圖①,把△ABC 紙片沿 DE 折疊,使點 A 落在四邊形 BCED 的內(nèi)部點 A′的位置,試說明 2∠A=∠1+∠2;
(2)如圖②,若把△ABC 紙片沿 DE 折疊,使點 A 落在四邊形 BCED 的外部點A′的位置,寫出∠A 與∠1、∠2 之間的等量關系(無需說明理由);
(3)如圖③,若把四邊形 ABCD 沿 EF 折疊,使點 A、D 落在四邊形BCFE 的內(nèi)部點 A′、D′的位置,請你探索此時∠A、∠D、∠1 與∠2 之間的數(shù)量關系,寫出你發(fā)現(xiàn)的結論并說明理由.
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【題目】在正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為1個單位長度,△ABC的三個頂點的位置如圖所示,現(xiàn)將△ABC平移,使點A變換為點A',點B'、C'分別是B、C的對應點.
(1)請畫出平移后的△A'B'C';
(2)若連接AA',CC',則這兩條線段之間的關系是 .
(3)作直線MN,將△ABC分成兩個面積相等的三角形.
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【題目】如圖(1),△ABC和△EDC中,D為△ABC邊AC上一點,CA平分∠BCE,BC=CD,AC=CE.
(1)求證:∠A=∠CED;
(2)如圖(2),若∠ACB=60°,連接BE交AC于F,G為邊CE上一點,滿足CG=CF,連接DG交BE于H.
①求∠DHF的度數(shù);
②若EB平分∠DEC,試說明:BE平分∠ABC.
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【題目】如圖,以ABCO的頂點O為原點,邊OC所在直線為x軸,建立平面直角坐標系,頂點A、C的坐標分別是(2,4)、(3,0),過點A的反比例函數(shù)y=的圖象交BC于D,連接AD,則四邊形AOCD的面積是_____.
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