Question

【題目】已知：直線(xiàn)MN，PQ被射線(xiàn)BA截于A，B兩點(diǎn)，且MN∥PQ，點(diǎn)D是直線(xiàn)MN上一定點(diǎn)，C是射線(xiàn)BA上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CD交直線(xiàn)PQ于點(diǎn)E．

（1）若點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上．

①依題意，補(bǔ)全圖形；

②請(qǐng)寫(xiě)出∠ADC和∠CEB的數(shù)量關(guān)系，并證明．

（2）若點(diǎn)C在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，直接寫(xiě)出∠ADC和∠CEB的數(shù)量關(guān)系，不必證明．

Answer 1

【答案】（1）①見(jiàn)解析；②∠ADC和∠CEB的數(shù)量關(guān)系：∠ADC+∠CEB=90°；證明見(jiàn)解析；（2）∠ADC+∠CEB=90°或∠CEB-∠ADC=90或∠ADC-∠CEB=90°

【解析】

（1）①連接CD，作CE⊥CD，交PQ于E即可；

②根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可知∠DCH=∠ADC，∠ECH=∠CEB，由∠DCH+∠ECH=90°，可知∠ADC+∠CEB=90°；

（2）利用平行線(xiàn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平角的定義列式即可求得．

（1）①補(bǔ)全圖形，如圖．

②∠ADC和∠CEB的數(shù)量關(guān)系：∠ADC+∠CEB=90°．

證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CH∥MN．

∴∠DCH=∠ADC，∠ECH=∠CEB．

∵CD⊥CE，

∴∠DCE=90°，即∠DCH+∠ECH=90°．

∴∠ADC+∠CEB=90°．

（2）如圖2①，

∵CE⊥CD，

∴∠1+∠ADC=90°，

∵MN∥PQ，

∴∠1=∠CEB，

∴∠ADC+∠CEB=90°；

如圖2②，

∵CE⊥CD，

∴∠1+∠ADC=90°，

∵MN∥PQ，

∴∠1=∠2，

∵∠2+∠CEB=180°，

∴90°-∠ADC+∠CEB=180°，

∴∠CEB-∠ADC=90°；

如圖2③，

∵CE⊥CD，

∴∠ECD=90°，

∵MN∥PQ，

∴∠1=∠CEB，

∵∠ADC=∠ECD+∠1，

∴∠ADC=90°+∠CEB

∴∠ADC-∠CEB=90°；

綜上，∠ADC和∠CEB的數(shù)量關(guān)系為：∠ADC+∠CEB=90°或∠CEB-∠ADC=90°或∠ADC-∠CEB=90°．