Question

如圖，△ABC內(nèi)接⊙O，AB是直徑，⊙O的切線PC交BA的延長線于點P，OF∥BC交AC于點E，交PC于點F，若AC=24，AF=15，求圓的半徑．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：

分析：如圖，作輔助線，構(gòu)造全等三角形；證明△OCF≌△QAF，進(jìn)而證明△AOF為直角三角形；運用垂徑定理及射影定理即可解決問題．

解答：解：如圖，連接OC；
∵AB是⊙O的直徑，
∴AC⊥BC；
又∵OF∥BC，
∴OF⊥AC，
∴AE=CE=12（垂徑定理），
∴FC=FA；
在△OCF與△OAF中，

OC=OA OF=OF FC=FA

，
∴△OCF≌△OAF（SSS），
∴∠OAF=∠OCF，
∵PC為⊙O的切線，
∴OC⊥CF，
∴∠OAF=∠OCF=90°，
由勾股定理得：
EF²=FA²-AE²=15²-12²，
∴EF=9；
由射影定理得：AE²=OE•EF，
∴OE=

122

9

=16
又∵OA²=OE•OF=16×（16+9），
∴OA=20，
即⊙O的半徑為20．

點評：該命題以圓為載體，以考查切線的性質(zhì)、勾股定理、射影定理等幾何知識點為核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是靈活運用有關(guān)知識點來分析、判斷、計算或推理．