Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點A（1，0）、C，交y軸于點B，對稱軸x=-1與x軸交于點D．

（1）求該拋物線的解析式和B、C點的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點P（x，y）是第二象限內(nèi)該拋物線上的一個動點，△PBD的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）點G在x軸負(fù)半軸上，且∠GAB=∠GBA，求G的坐標(biāo)；
（4）若此拋物線上有一點Q，滿足∠QCA=∠ABO？若存在，求直線QC的解析式；若不存在，試說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點A（1，0），對稱軸為x=-1，列出關(guān)于b、c的方程組

-1+b+c=0 -b 2×(-1) =-1

，解方程組求出b、c的值，得到拋物線的解析式為y=-x²-2x+3；再解方程-x²-2x+3=0，求出x的值，得到C點的坐標(biāo)；將x=0代入y=-x²-2x+3，求出y的值，得到B點的坐標(biāo)；
（2）過點P作PE⊥x軸于點E，根據(jù)S=S_梯形PEOB-S_△BOD-S_△PDE求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)點P（x，y）是第二象限內(nèi)該拋物線上的一個動點，得出自變量x的取值范圍；
（3）設(shè)G點坐標(biāo)為（a，0），則a＜0．根據(jù)等角對等邊得出GB=GA，由此列出方程a²+3²=（1-a）²，解方程求出a的值，即可得到G點坐標(biāo)；
（4）先根據(jù)正切函數(shù)的定義得出tan∠ABO=

OA

OB

=

1

3

，由于∠QCA=∠ABO，得到tan∠QCA=

1

3

，再由直線斜率的意義可知直線QC的斜率|k|=

1

3

，則k=±

1

3

．由此可設(shè)直線QC的解析式為y=

1

3

x+n，或y=-

1

3

x+n，然后將C點坐標(biāo)（-3，0）代入，求出n的值，即可得到直線QC的解析式．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點A（1，0），對稱軸為x=-1，
∴

-1+b+c=0 -b 2×(-1) =-1

，
解得

b=-2 c=3

，
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3；
當(dāng)y=0時，-x²-2x+3=0，
解得x₁=1，x₂=-3，
∴C點的坐標(biāo)為（-3，0）；
當(dāng)x=0時，y=3，
∴B點的坐標(biāo)為（0，3）；

（2）如圖，過點P作PE⊥x軸于點E．
S=S_梯形PEOB-S_△BOD-S_△PDE
=

1

2

（y+3）（-x）-

1

2

×3×1-

1

2

×y×（-1-x）
=

y

2

-

3

2

x-

3

2

．
將y=-x²-2x+3代入得，
S=

1

2

（-x²-2x+3）-

3

2

x-

3

2

=-

1

2

x²-x+

3

2

-

3

2

x-

3

2

=-

1

2

x²-

5

2

x，
∵點P（x，y）是第二象限內(nèi)該拋物線上的一個動點，
∴-3＜x＜0，
∴S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：S=-

1

2

x²-

5

2

x（-3＜x＜0）；

（3）設(shè)G點坐標(biāo)為（a，0），則a＜0．
∵∠GAB=∠GBA，
∴GB=GA，
∴a²+3²=（1-a）²，
解得a=-4，
∴G點坐標(biāo)為（-4，0）；

（4）此拋物線上有一點Q，滿足∠QCA=∠ABO．
∵tan∠ABO=

OA

OB

=

1

3

，
∴tan∠QCA=

1

3

，
∴直線QC的斜率|k|=

1

3

，
∴k=±

1

3

．
設(shè)直線QC的解析式為y=

1

3

x+n，或y=-

1

3

x+n，
將C（-3，0）代入，得0=

1

3

×（-3）+n，或0=-

1

3

×（-3）+n，
解得n=1或-1．
故直線QC的解析式為y=

1

3

x+1，或y=-

1

3

x-1．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，等腰三角形的判定，正切函數(shù)的定義等知識，綜合性較強，難度適中．