Question

【題目】探究：如圖1和圖2，四邊形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，點E、F分別在BC、CD上，∠EAF＝45°．

（1）①如圖1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，直接寫出線段BE、DF和EF之間的數(shù)量關(guān)系；

②如圖2，若∠B、∠D都不是直角，則當∠B與∠D滿足　 　關(guān)系時，線段BE、DF和EF之間依然有①中的結(jié)論存在，請你寫出該結(jié)論的證明過程；

（2）拓展：如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，點D、E均在邊BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）①EF＝BE+DF；②∠B+∠D＝180°，理由見解析；（2）DE＝

【解析】

（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，求出∠EAF=∠GAF=45°，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=GF，即可求出答案；

②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作輔助線，得出AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，求出C、D、G在一條直線上，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=GF，即可求出答案；

（2）如圖3，同理作旋轉(zhuǎn)三角形，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和勾股定理求出∠ABC=∠C=45°，BC=4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，求出∠FAD=∠DAE=45°，證△FAD≌△EAD，根據(jù)全等得出DF=DE，設(shè)DE=x，則DF=x，BF=CE=3﹣x，根據(jù)勾股定理得出方程，求出x即可．

(1)①如圖，

∵把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，∠B=∠ADG=90°，

∵∠ADC=90°，

∴∠ADC+∠ADG=90°

∴F、D、G共線，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠DAG+∠DAF=45°，

即∠EAF=∠GAF=45°，

在△EAF和△GAF中，

∵，

∴△EAF≌△GAF(SAS)，

∴EF=GF，

∵BE=DG，

∴EF=GF=DF+DG=BE+DF；

②∠B+∠D=180°，

理由是：

如圖2，把△ABE繞A點旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，

則AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，

∵∠B+∠ADC=180°，

∴∠ADC+∠ADG=180°，

∴C、D、G在一條直線上，

與①同理得，∠EAF=∠GAF=45°，

在△EAF和△GAF中

，

∴△EAF≌△GAF(SAS)，

∴EF=GF，

∵BE=DG，

∴EF=GF=BE+DF；

故答案為：∠B+∠D=180°；

(2)∵△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠C=45°，

由勾股定理得：BC=，

如圖3，把△AEC繞A點旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF．

則AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，

∵∠DAE=45°，

∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=90°﹣45°=45°，

∴∠FAD=∠DAE=45°，

在△FAD和△EAD中

，

∴△FAD≌△EAD(SAS)，

∴DF=DE，

設(shè)DE=x，則DF=x，

∵BC=4，

∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x，

∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，

∴∠FBD=90°，

由勾股定理得：DF2=BF2+BD2，

即x2=(3﹣x)2+12，

解得：x=，

即DE=．