【題目】如圖二次函數(shù)y=ax2+bx-2的圖象交x軸于A(﹣1,0),B(2,0)兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,過A,C兩點(diǎn)畫直線.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)D,使以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,如果存在,請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo),如果不存在,請說明理由。
(3)若點(diǎn)Q在AC下方的拋物線上運(yùn)動(dòng),求以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值.
【答案】(1)y=x2-x-2(2)(3,-2)、(1,2)、(-3,-2).(3)
【解析】
(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求解;
(2)根據(jù)平行四邊形的特點(diǎn)作圖即可求解;
(3)先求出直線AC的解析式,過Q點(diǎn)QF⊥x軸于F點(diǎn),交直線AC于P點(diǎn),設(shè)Q(x, x2-x-2),表示出PQ的長,再根據(jù)S△ACQ =AO×PQ列出二次函數(shù)關(guān)系式即可求解.
(1)把A(﹣1,0),B(2,0)代入y=ax2+bx-2得
解得
∴y=x2-x-2
(2)令x=0,得y=-2
∴C(0,-2)
如圖,∵A(﹣1,0),B(2,0),C(0,-2)
①四邊形ABD1C是平行四邊形,
∴CD1=AB=3
∴D1(3,-2)
②四邊形ACBD2是平行四邊形,
AB,CD2交于E點(diǎn),E(,0)
∴C、D2關(guān)于E點(diǎn)對稱,
∴D2(1,2)
③四邊形ABCD3是平行四邊形,
∴CD3=AB=3
∴D3(-3,-2)
綜上,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,-2)、(1,2)、(-3,-2).
(3)設(shè)AC為y=kx+b,把A(﹣1,0),C(0,-2)代入得
解得
∴直線AC的解析式為y=-2x-2
過Q點(diǎn)QF⊥x軸于F點(diǎn),交直線AC于P點(diǎn),
設(shè)Q(x, x2-x-2),
∴P(x, -2x-2)
∴PQ=(-2x-2)- (x2-x-2)=- x2-x
∴S△ACQ= S△APQ+ S△PCQ=AF×PQ+FO×PQ =AO×PQ=×1×(- x2-x)=-(x+)2+
∴當(dāng)x=-時(shí),S△ACQ的最大值是.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸交于兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),經(jīng)過點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為,且.
(1)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo),并求直線的函數(shù)表達(dá)式(其中用含的式子表示);
(2)點(diǎn)是直線上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn),若的面積的最大值為,求的值;
(3)設(shè)是拋物線對稱軸上的一點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形?若能,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不能,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中, , °,點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn),將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°至,連接.已知AB2cm,設(shè)BD為x cm,B為y cm.
小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究,下面是小明的探究過程,請補(bǔ)充完整.(說明:解答中所填數(shù)值均保留一位小數(shù))
(1)通過取點(diǎn)、畫圖、測量,得到了與的幾組值,如下表:
0.5 | 0.7 | 1.0 | 1.5 | 2.0 | 2.3 | ||
1.7 | 1.3 | 1.1 | 0.7 | 0.9 | 1.1 |
(2)建立平面直角坐標(biāo)系,描出以補(bǔ)全后的表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn),畫出該函數(shù)的圖象.
(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象,解決問題:
線段的長度的最小值約為__________ ;
若 ,則的長度x的取值范圍是_____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】被歷代數(shù)學(xué)家尊為“算經(jīng)之首”的《九章算術(shù)》是中國古代算法的扛鼎之作!毒耪滤阈g(shù)》中記載:“今有五省、六燕,集稱之衡,雀俱重,燕俱輕,一雀一燕交而處,衡適平。并燕、雀重一斤。問燕,雀一枚各重幾何?”譯文:“今有只雀、只燕,分別聚集而且用衡器稱之,聚在一起的雀重,燕輕.將一只雀、一只燕交換位置而放,重量相等.只雀、只燕重量為斤。問雀、燕每只各重多少斤?”(每只雀的重量相同、每只燕的重量相同)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某網(wǎng)上書城“五一·勞動(dòng)節(jié)”期間在特定的書目中舉辦特價(jià)促銷活動(dòng),有A、B、C、D四本書是小明比較中意的,但是他只打算選購兩本,求下列事件的概率:
(1)小明購買A書,再從其余三本書中隨機(jī)選一款,恰好選中C的概率是_________;
(2)小明隨機(jī)選取兩本書,請用樹狀圖或列表法求出他恰好選中A、C兩本的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】點(diǎn)P(x1,y1)和點(diǎn)Q(x2,y2)是關(guān)于x的函數(shù)y=mx2﹣(2m+1)x+m+1(m為實(shí)數(shù))圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn).對于下列說法:①不論m為何實(shí)數(shù),關(guān)于x的方程mx2﹣(2m+1)x+m+1=0必有一個(gè)根為x=1;②當(dāng)m=0時(shí),(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0成立;③當(dāng)x1+x2=0時(shí),若y1+y2=0,則m=﹣1;④當(dāng)m≠0時(shí),拋物線頂點(diǎn)在直線y=﹣x+1上.其中正確的是( 。
A.①②B.①②③C.③④D.①②④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】探究:如圖1和圖2,四邊形ABCD中,已知AB=AD,∠BAD=90°,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上,∠EAF=45°.
(1)①如圖1,若∠B、∠ADC都是直角,把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,使AB與AD重合,直接寫出線段BE、DF和EF之間的數(shù)量關(guān)系;
②如圖2,若∠B、∠D都不是直角,則當(dāng)∠B與∠D滿足 關(guān)系時(shí),線段BE、DF和EF之間依然有①中的結(jié)論存在,請你寫出該結(jié)論的證明過程;
(2)拓展:如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,點(diǎn)D、E均在邊BC上,且∠DAE=45°,若BD=1,求DE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小婷在放學(xué)路上,看到隧道上方有一塊宣傳“中國﹣南亞博覽會(huì)”的豎直標(biāo)語牌CD.她在A點(diǎn)測得標(biāo)語牌頂端D處的仰角為42°,測得隧道底端B處的俯角為30°(B,C,D在同一條直線上),AB=10m,隧道高6.5m(即BC=65m),求標(biāo)語牌CD的長(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).(參考數(shù)據(jù):sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90,≈1.73)
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