Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，4），B（-3，4），C（-6，0），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以1個(gè)單位/秒的速度在y軸上向下運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)以2個(gè)單位/秒的速度在x軸上向右運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥y軸，交OB于D，連接DQ．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，兩動(dòng)點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t=1時(shí)，求線段DP的長(zhǎng)；
（2）連接CD，設(shè)△CDQ的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并求出S的最大值；
（3）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在某一時(shí)刻，使△ODQ與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）；（2）S=，當(dāng)時(shí)，S最大值=4；（3）和

試題分析：（1）先由題意得到OA=4，AB=3，CO=6，再求出當(dāng)t=1時(shí)，AP、OP的長(zhǎng)，最后根據(jù)PD⊥y軸，AB⊥y軸，結(jié)合平行線分線段成比例即可列比例式求解；
（2）作DE⊥CO于點(diǎn)E，分別用含t的字母表示出CQ、AP、OP，即可表示出DE的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式即可得到S關(guān)于t的函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得S的最大值；
（3）分和兩種情況，結(jié)合相似三角形的判定方法討論即可.
（1）由A（0，4），B（-3，4），C（-6，0）可知OA=4，AB=3，CO=6，
當(dāng)t=1時(shí)，AP=1，則OP=3，
∵PD⊥y軸，AB⊥y軸
∴PD∥AB
∴ 
∴ 
解得DP=；
（2）CQ=2t，AP=t，OP=4–t
作DE⊥CO于點(diǎn)E，則DE=OP=4–t   
∴S==×2t×(4–t)=   
當(dāng)時(shí)，S最大值=4
（3）分兩種情況討論：
①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q在CO上運(yùn)動(dòng)（當(dāng)t=3時(shí)，△ODQ不存在）
∵AB∥CO 
∴∠BOC=∠ABO<∠ABC
可證得BO=BC
∴∠BOC=∠BCO>∠BCA
∵AB∥CO
∴∠BAC=∠ACO<∠BCO=∠BOC
∴當(dāng)時(shí)，△ODQ與△ABC不可能相似。
②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，
延長(zhǎng)AB，由AB∥CO可得∠FBC=∠BCO=∠BOC，
∴∠ABC=∠DOQ
OQ=，由DP∥AB可得OD=
當(dāng)時(shí)，
 ，在內(nèi)；
當(dāng)時(shí)，
，在內(nèi)；
∴存在和，使△ODQ與△ABC相似。
點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握求二次函數(shù)的最值的方法：公式法或配方法；同時(shí)熟練運(yùn)用平行線分線段成比例，準(zhǔn)確列出比例式解決問(wèn)題.